Berlin
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Die
Alfonsinischen Tafeln
für
den Gebrauch eines modernen Rechners.
INAUGURAL-DISSERTATION
ZUR
ERLANGUNG DER DOKTORWÜRDE
GENEHMIGT
VON DER P H I L O S O P H I S C H E N F A K U L T Ä T
DER
F R I E DR IC H - W I L I I E L M S -UN I Y ERS 1T Ä T
ZU B E R L I N .
Von
Alfred Wegener
aus Berlin. &
Tag der Promotion: 4. März 1905.
Re f e r en t en :
Prof. Dr.
Prof. Dr.
Bauschinger.
Förster.
Druck von E. E b e r i n g , O. m. b. H., Berlin NW., Mittelstr. 29.
Weinen Eltern.
Einleitung.
Die Entstehung des kastilianischen Originals der Alfonsi-
nischen Tafeln wird meist auf das Jahr des Regierungsantritts
Alfons X. von Castilien 1252 gelegt, obwohl diese Ueberlieferung
wenig sicher ist und manche Anzeichen dafür sprechen, dass die
Tafeln erheblich später, in den sechziger oder gar erst siebziger
Jahren des 13. Jahrhunderts entworfen worden sind. Eine grössere
Verbreitung haben aber erst die lateinischen Bearbeitungen des
folgenden Jahrhunderts gewonnen, namentlich diejenige Johanns
von Sachsen, welche in das Jahr 1331 gesetzt wird. Diesen
Zeitpunkt wird man daher als Beginn der Periode betrachten
können, in der die Alfonsinischen Tafeln eine allgemeine An-
wendung fanden. Bis zur Einführung der Buchdruckerkunst in
der zweiten Hälfte des 15. Jahrhunderts entstanden eine grosse
Zahl von lateinischen Handschriften, von denen sich gegenwärtig
fast in allen grossen Bibliotheken Europas Exemplare vorfinden.
Gedruckt wurden die Tafeln zum ersten Male in Venedig 1483,
sodann 1487, ferner zu Augsburg 1488, und wiederum zu Venedig
in den Jahren 1490, 1492, 1512, 1517, 1518, 1521, 1524, 1534.
Endlich erschienen 2 weitere Ausgaben zu Paris 1545 und 1553.
Den ersten Rang nahmen die Alfonsinischen Tafeln bis zum Jahre
1551 ein, in welchem die Prutenischen Tafeln des Erasmus Rein-
hold, die bereits nach der Kopernikanischen Theorie entworfen
waren, zum ersten Male im Druck erschienen. In der Folgezeit
wurden zwar die Prutenischen Tafeln meist vorgezogen, doch
blieben daneben die Alfonsinischen noch vielfach im Gebrauch.
Auch ist zu beachten, dass manche der damals entstandenen
Tafeln, z. B. die Tabulae resolutae Schoners, nur Umrechnungen
der Alfonsinischen darstellen.1) Die Gregorianische Kalenderreform
1. Schoner schlug für die Tabulierung der mittleren Bewegungen den-
selben Weg ein, den auch Verfasser bei seiner Umrechnung gegangen ist.
Es braucht aber wohl nicht hervorgehoben zu werden, dass Schoners Tafeln
— 6 —
(1582) scheinen sie aber nur in Spanien überdauert zu haben,
wo noch 1641, also 14 Jahre nach Erscheinen der Rudolfinischen
Tafeln Keplers, eine neue Ausgabe zu Madrid erschien.
Angesichts dieser bedeutenden, wegen unserer unvollständigen
Kenntnis der Handschriften und Drucke dieses Werkes wohl noch
immer etwas unterschätzten Verbreitung, welche die Alfonsinischen
Tafeln während reichlich 250 Jahren in Europa besessen haben, ist es
sicherlich für mancherlei geschichtliche Untersuchungen von Wert,
auch heute noch nach ihnen Planetenörter rechnen zu können.
Gegenwärtig setzt aber eine Benutzung der alten Druckausgaben,
die überdies trotz ihrer grossen Zahl allmählich selten geworden
und jedenfalls nur in grösseren Bibliotheken vorhanden sind,
stets ein mühsames Vorstudium der oft knappen und schwer ver-
ständlichen lateinischen Anleitungen, die sich in ihnen selbst
finden, voraus, oder aber, wenn man sich mit den rein mecha-
nischen Rechnungsvorschriften nicht begnügt, ein noch zeitrauben-
deres und mühsameres Studium der alten von Peurbach und
anderen herrührenden Darstellungen der Theorie aus dem 16.
Jahrhundert. Zieht man dazu die Unbequemlichkeit in Betracht,
welche durch das in den Tafeln verwendete Sexagesimalsystem
verursacht wird, das mit einer heute ungebräuchlichen Konsequenz
bei der Winkelteilung, ganz entgegen dem heutigen Gebrauche
aber auch bei derZeit durchgeführt ist, so wird für einen modernen
Rechner, der mit der Terminologie der alten, geocentrischen Theorie
nicht hinreichend vertraut ist, die Rechnung eines Planetenortes
nach den lateinischen Drucken des 15. und 16. Jahrhunderts mit
recht erheblichen Schwierigkeiten verknüpft sein.
Die vorliegende Arbeit hat den Zweck, diese Schwierigkeiten
möglichst zu beseitigen. Zu diesem Ziele schien es geboten, ein-
mal die Tafeln selbst auf eine gegenwärtig geläufigere Form um-
zurechnen, namentlich also das schwerfällige Sexagesimalsystem
zu beseitigen, ausserdem aber eine Erläuterung der Theorie zu
geben, aus der sich die Rechnungsvorschriften ableiten lassen.
Der Umrechnung wurde die letzte Ausgabe der Alfonsinischen
Tafeln, Paris 1553 (Paschasius Hammellius) zu Grunde gelegt,
aus anderen Gründen für die vorliegende Arbeit keinerlei Nutzen gewähren
konnten.
— 1 —
doch lagen Verfasser daneben noch 4 Venediger Ausgaben von
den Jahren 1483, 1492, 1518 und 1524 vor. In allen diesen Aus-
gaben stimmen die Planetentafeln bis auf die allerdings zahlreichen
Druckfehler vollkommen überein. Bei der Darstellung der Theorie
wurden ausser diesen 5 Tafelausgaben namentlich auch die von
Reinhold commentierten „Theoricae novae planetarum Purbachii",
Ausgabe 1542, sowie die „Quaestiones" des Vurstisius über das
gleiche Thema benutzt, welche vielfach auf die Alfonsinischen Tafeln
Bezug nehmen und darum nicht mit Unrecht als der Text derselben
bezeichnet worden sind. Dagegen verdient es hervorgehoben zu
werden, dass die 1863—67 von der Akademie der Wissenschaften
zu Madrid herausgegebenen „Libros del saber de astronomia del
Rey D. Alfonso X. de Castilla etc." für die vorliegende Arbeit
keinen Nutzen gewähren konnten. Im IV. Bande dieses Werkes
ist allerdings der kastilianische Originaltext der Tafeln enthalten,
allein die ebendort irrtümlich als „fragmentos numericos de las
taulas Alfonsies" abgedruckten Zahlentabellen stellen eine besondere,
auf der Tabulierung von Perioden beruhende Art von Ephemeriden
dar, die später als „Almanach perpetuum" bezeichnet wurde, und
die mit dem Original der Alfonsinischen Tafeln nichts zu tun hat.
Im übrigen ist der Inhalt der spanischen Publikation nicht den
Planetentafeln, sondern einem neuentdeckten Sammelwerk Alfons X
über die astronomischen Instrumente gewidmet.la)
Bemerkungen über die Umrechnung.
Den Hauptgegenstand der Umrechnung bilden die Tafeln der
mittleren Bewegungen, bei welchen die ursprüngliche Form ganz
aufgegeben werden musste. In den alten Drucken ist nämlich
jede mittlere Bewegung zerlegt in den Stand des betreffenden
Winkels zur Fundamentalepoche, die sogen, radix, und die eigent-
liche Bewegung von dieser Epoche bis zum Datum. Die Tafeln
geben nur die letztere, so dass man zum Tafelwert noch die radix
zu addieren hat, um den gesuchten Stand des Winkels für das
Datum zu erhalten. Durch diese Trennung der radix von der
Bewegung ist die eigentümliche Einrichtung jener Tafeln ermöglicht.
1a. Vergl. meine Abhandlung: „Die astronomischen Werke Alfons X.",
welche demnächst in Bibliotheca Mathematica, Zeitsch. f. Gesch. d. Math.,
erscheinen wird.
— 8 —
Das Tafelargument, d. i. die von der Fundamentalepoche (Christus)
bis zum Datum verflossene Zeit, ist nämlich zuvor in einem
Sexagesimalsystem auszudrücken, dessen Grundeinheit der Tag ist,
von welchem nach oben und unten neue sexagesimale Einheiten
gebildet werden. So ist z. B. für des Datum 1477 Sept. 20d 6h
lm 363 dies Tafelargument gleich 24 298 492 32d 15m 4- 0', wobei
die 32 Tage bedeuten, während l 2=60 d und lm= 1 / 6 0 d ist, etc.
Vermöge dieser Massnahme braucht man für jede mittlere Be-
wegung nur eine einzige Tafel, deren Argument von 0 bis 60
läuft. Man geht nämlich nacheinander mit den verschiedenen
Grössenordnungen des Arguments in die Tafel ein, in unserem
Beispiel zuerst mit der 2, dann mit der 29, u. s. w., wobei man
die Benennung der Tafelwerte jedesmal um eine sexagesimale
Stelle weiterschiebt. Durch Summieren der Einzelwerte erhält
man dann den Tafelwert für das Gesamtargument.
Diese Einrichtung wurde ganz aufgegeben, und die mittleren
Bewegungen wurden in der heute üblichen Form tabuliert, welche
keiner Erläuterung bedarf.2)
Die Tafeln der aequationes oder Ungleichheiten dagegen
wurden so gut wie ungeändert übernommen, indem daselbst ledig-
lich die Winkel in Dezimalteilen des Grades gegeben sind, statt
in dem ursprünglichen, streng durchgeführten Sexagesimalsystem,
bei dem der Kreis in 6 Signa3) zerfällt, und ausser minuta prima
und secunda des Grades auch noch minuta tertia, quarta etc. ge-
bildet werden. Auch wurde statt adde und minue das positive
und negative Vorzeichen eingeführt. Überall wo die alten Drucke
nur die Minute geben, wurde bei der vorliegenden Arbeit der
Hundertstelgrad, wo Sekunden, der Tausendstelgrad mitgenommen.
Da diese Grössen etwas kleiner sind als die ursprünglichen, so
verlaufen naturgemäss die Differenzen in den umgerechneten Tafeln
der aequationes noch ungleichmässiger als in den Originalen. Von
einer Ausgleichung wurde indessen Abstand genommen, da die
2. Die heutige Einrichtung ist auch in dem oben erwähnten Kastilia-
nischen Originaltext vorausgesetzt, so dass das genannte sexagesimale Zeit-
system erst bei einer späteren Umrechnung eingeführt sein dürfte.
3. In den Alfonsinischen Tafeln werden mit wenigen Ausnahmen, wo aus
ökonomischen Rücksichten die älteren signa communia (zu 30°) beibehalten
sind, überall signa physica (zu 60°) verwendet.
— 9 —
Absicht des Verfassers lediglich dahin ging, eine möglichst voll-
kommene Übereinstimmung mit den aus den alten Ausgaben
resultierenden Örtern zu erzielen. Korrigiert sind dagegen in der
vorliegenden Arbeit alle mit einem Sternchen versehenen Zahlen,
bei welchen ein offenbarer Druckfehler vorlag.
Die Gregorianische Kalenderreform ist in den Tafeln nicht
berücksichtigt, und es ist daher stets mit julianischen Jahren zu
rechnen. Es wurde bereits eingangs darauf hingewiesen, dass die
Alfonsinischen Tafeln nach Einführung des neuen Kalenders nur
noch sehr vereinzelt im Gebrauch waren.
Von den zahlreichen in den alten Drucken vereinigten astro-
nomischen Tafeln wurden nur diejenigen ausgewählt, welche zur
Berechnung der Planetenörter dienen, während alle übrigen, z. B.
die Tafeln der Stationen und Retrogradationen, die Oppositions-
tafeln, die Finsternistafeln, der Fixsternkatalog u. s. w. fortgelassen
wurden.
Für die technischen Ausdrücke der alten Theorie erschien es
am zweckmässigsten, die lateinischen Vokabeln unverändert be-
stehen zu lassen, ohne sie durch die zum Teil für sie vorhandenen
deutschen zu ersetzen. Verfasser glaubte dadurch einmal Unklar-
heiten und Zweideutigkeiten aus dem Wege zu gehen, und anderer-
seits einen vollkommeneren Anschluss an die alten Tafeln zu er-
zielen und dadurch auch ein Verständnis der letzteren auf Grund
dieser Arbeit zu erleichtern. Zur schnellen Orientierung über die
Bedeutung dieser lateinischen Vokabeln siehe die alphabetische
Übersicht am Schluss des Textes.
Die Fundamentalepoche der Tafeln.
Die Fundamentalepoche der Tafeln ist der Jan. 0 . 0 des
Jahres 1. Für diesen Zeitpunkt gelten in den alten Ausgaben die
radices incarnationis, desgleichen ist dort das Tafelargument für
alle mittleren Bewegungen die von dieser Epoche bis zum Datum
verflossene Zeit, und endlich ist an den Tafelörtern stets die
Praecession von dieser Epoche bis zum Datum anzubringen.
Da dies offenbar für den Gebrauch der Tafeln eine grund-
— 1 0 —
legende Frage ist, so möge hier der ausführliche Nachweis folgen.
Bezeichnend für die Knappheit des Textes gerade in den
späteren Ausgaben ist es, dass sich weder diejenige vom Jahre
1524 noch die von 1553 über diesen Punkt überhaupt ausspricht.
Dagegen ist gleich in der ältesten Ausgabe vom Jahre 1483 zu
lesen: „Sciendum quod radix alicuius motus nihil aliud est quam
locus circuli signorum, in quo fuerit ille motus in principio illius
aerae, cuius est radix. Verbi gratia in tabula radicum solis, radix
incarnationis Christi est quattuor signa 38 gr. 21', hoc est dicere
ubi terminatur numerus in zodiaco incipiendo computum ab ariete:
ibi fuit linea medii motus solis tempore Christi in meridie Ultimi
diei decembris: sive in principio ianuarii."
Die Ausgabe 1492 hat dasselbe noch etwas weiter ausgeführt:
„ . . . incipiendo computum ab ariete in meridie Ultimi diei
Decembris: sive in principio Januarii. Ibi enim dies Januarii
primus incipit in meridie: et in sequenti proximo sui ipsius
desinit meridie: Dies namque Semper a meridie diei praecedentis
incipiendo usque in proximum sequentis diei meridiem durat more
astronomico: et idcirco potius in meridie, quod pars sit nobilior
diei: propter vim magnam et fortitudinem solis: qua radius suus
fortius et validius in haec inferiora infigitur: cum sit perpendicularis
in illa parte diei."
Denselben Wortlaut hat auch die Ausgabe 1518. Dort wird
des weiteren ein Beispiel für die „era anni currentis 1492 currente
die 20. Junii, hora 14, min. 36" gegeben. Die Stunden sind dabei
post meridiem gezählt, was zwar nicht besonders hervorgehoben
ist, aber schon aus den Tafelüberschriften (z. B. „horas tuas post
meridiem aequare" und anderen) hervorgeht. Die von der Funda-
mentalepoche bis zu diesem Datum verflossene Zeit wird in Über-
einstimmung mit den vorangehenden Angaben zu 1491 Jahren,
5 Monaten, 20 Tagen, 14 Stunden, 36 Minuten angegeben.4)
4. Es herrschte im 16. Jahrhundert offenbar kein einheitlicher Ge-
brauch in Bezug auf den Jahresanfang, wodurch die Wichtigkeit der obigen
Angaben noch erhöht wird. Schoner legte ihn wie die Alfonsinischen Tafeln
auf den Mittag des bürgerlichen 31. Dezembers, Reinhold dagegen auf die
Mitternacht zwischen dem 31. Dezember und dem 1. Januar. Der erstere
schreibt in seinem Buche „aequatorii astronomici etc» canones" vom Jahre
1524: „Diversi etiam astronomi diversimode annum inchoant. In hoc etiam
— 11 —
Ueber die anzubringenden Correctionen.
1. Längendifferenz.
Da die Alfonsinischen Tafeln auf den Meridian von Toledo
bezogen sind, so hat man die gegebene Ortszeit eines beliebigen
Ortes noch um die Längendifferenz gegen Toledo zu korrigieren,
bevor man mit ihr die Rechnung durchführt. Zu diesem Zwecke
geben die alten Ausgaben eine Tabelle der geographischen
Positionen der hauptsächlichsten Städte Europas, welche nicht
reproduziert wurde. Die heutigen Co'ordinaten von Toledo sind:
rp—39° 52' 24", A-zl5m 57s westl. Greenwich.
2. Zeitgleichung.
Um aus der wahren die mittlere Ortszeit zu erhalten, hat
man die Zeitgleichung anzubringen. Die älteste Ausgabe der
Alfonsinischen Tafeln enthält keine Zeitgleichungstabelle und setzt
also voraus, dass diese Correction, welche übrigens nur beim Monde
einen merklichen Betrag erreicht, bereits angebracht ist. Alle
späteren Ausgaben enthalten aber eine „tabula aequationis dierum",
welche in der vorliegenden Arbeit jedoch nicht reproduziert wurde,
obwohl sie einen bemerkenswerten Unterschied gegen unsere
heutigen Zeitgleichungstabellen zeigt. Die Zeitgleichung ist dort
nämlich stets von der wahren Zeit zu subtrahieren, um die mittlere
zu erhalten. Die Tafelwerte zeigen dabei gegen unsere heutigen
opere annum a Januario Romanorum more inchoamus, diem vero a meridie
diei praecedentis initiamus, et in meridie diei sequentis finimus." Und eben-
so in seinen Tabulae resolutae: „Principium autem currentis anni secundum
practicantes motus pro anno Romanorum fit Semper in meridie ultimae diei
decembris". Bei dem dort gegebenen Zahlenbeispiel: „invenire medium
motum solis anno domini currente 1502 ad 4. diem mensis Aprilis, hora 17
minut.34 secund.10 transactis ad meridianum Noribergensem" wird demge-
mäss das Tafelargument (verflossene Zeit) zu 1501 Jahre, 3 Monate, 4 Tage,
17 Stunden etc. angegeben.
Dagegen sagt Reinhold in seinen Tabulae Prutenicae: „Primum quod
aequalium motuum Epochae aliae ex meridie, 'aliae a media nocte initium
capiant, a meridie quidem has tres: Olympiadum, Nabonassari, et Alexandri,
sed a media nocte antecedenti reliquae duae, C. Caesaris et Christi, Domini
ac Salvatoris nostri". Und nochmals: „Initium vero anni Juliani similiter et
Christi non pendet a meridie Calendarum Januarii, sed a' media nocte ante-
cedenti iuxta Romanorum consuetudinem". Entsprechend wird in einem
Beispiel für das Datum 1490 Mai 17, 10^ a. m. das Tafelargument zu 1489
Jahren, 4 Monaten, 16 Tagen, 10 Stunden angegeben.
— 1 2 —
eine konstante Differenz von rund 16m, so dass alle Werte über
Null liegen. Der Verlauf der Zeitgleichung ist, abgesehen von
diesem konstanten Zuschlag, derselbe wie bei uns, und das
absolute Maximum beträgt 32m 52 s , also nur wenig mehr als der
Gesamtausschlag unserer heutigen Zeitgleichung. Wie man sieht,
läuft diese Massnahme lediglich auf eine geänderte Definition der
mittleren Zeit hinaus; eine Uhr, welche die Alfonsinische mittlere
Zeit angiebt, geht um den konstanten Betrag von 16m gegen eine
nach der heutigen mittleren Zeit eingestellte nach. Da nun die
radices incarnationis der Tafeln für den Alfonsinischen mittleren
Mittag des 0. Jan. des Jahres 1 gelten, so hätte man, um die
Tafeln unter Verwendung unserer heutigen Zeitgleichung unmittel-
bar brauchbar zu machen, von jeder radix diejenige Grösse zu
subtrahieren, welche von der betreffenden Bewegung in diesen
16m zurückgelegt ist, eine Correction, welche beim Monde immer-
hin den Zehntelgrad überschreiten würde. Es erschien indessen
zweckmässiger, die in den Tafeln gegebenen radices beizubehalten
und lieber in den wenigen Fällen, wo es nötig ist, mit der Alfon-
sinischen Zeitgleichung zu rechnen.
Um also aus einer gegebenen wahren Ortszeit die in den
Tafeln zu verwendende mittlere Zeit zu erhalten, entnimmt man
aus einer heutigen Zeitgleichungstabelle die Zeitgleichung des
Datums, wobei eine sehr rohe Näherung genügt, addiert zu ihr
16m, so dass ein stets positiver Wert herauskommt und hat so
mit hinreichender Genauigkeit die Alfonsinische Zeitgleichung,
welche stets von der gegebenen wahren Zeit zu subtrahieren ist,
um die mittlere zu erhalten.5)
5. Da diese stets subtraktive Zeitgleichung immerhin etwas merkwürdiges
darstellt, dessen Berechtigung nicht leicht einzusehen ist, zitieren wir Rein-
hold, der in seinen prutenischen Tafeln eine Uebersicht über die damaligen
Methoden, die Zeitgleichung anzubringen, gibt: Auf 3 Arten könne man die
wahre Zeit in mittlere verwandeln. Erstens könne man die Zeitgleichung
direkt aus wahrem und mittlerem Sonnenort berechnen. Dieselbe sei dann
positiv und negativ. Dies sei die beste Art, die aber am meisten Arbeit
koste. Zweitens habe man — ex Ptolemaei doctrina die Zeitgleichung
tabuliert, und zwar ebenfalls mit negativen und positiven Werten [ . . . mox
excerpes dierum aequationem, quam litera A addendam, S vero subtrahendam
esse monet]. Eine solche Tafel gelte streng nur für ein bestimmtes Jahr,
könne aber ohne erheblichen Fehler bis zu einem Jahrhundert gebraucht
— 13 —
3. Parallaxe.
Eine Parallaxe wird in den Alfonsinischen Tafeln bei der
Berechnung der Planetenörter nicht berücksichtigt. Es findet sich
in ihnen allerdings eine „tabula diversitatis aspectus lunae",
welche eine Parallaxentafel des Mondes darstellt, allein dieselbe
befindet sich bei den Finsternistafeln, und aus dem Text geht
hervor, dass sie nur zur Berechnung der Finsternisse Verwendung
fand. Sie wurde aus diesem Grunde ebenfalls fortgelassen.
4. Praecession.
A. Berechnung der Praecession. Es giebt in den Alfonsinischen
Tafeln nur eine Praecession in Länge. Die Gesamtpraecession
zerfällt in eine säkulare fortschreitende Bewegung, welche der
werden [quorum canones uni tantum seculo citra errorem inserviunt]. Die
3. Art endlich, eben die Alfonsinische, bezeichnet Reinhold als „ex Regio-
montani doctrina et recentiorum sententia". Hier ist die Zeitgleichung stets
subtraktiv: „ac rite inventam aequationem dierum perpetuo aufer ab appa-
renti tempore. Ita enim prodibit aequale tempus quo recentiores utuntur".
Es heisst weiter: „dicam breviter, quod res est, a paucis etiam, qui inter
doctos numerantur, satis animadversum". Um bei der Rechnung von
Planetenörtern nach den Alfonsinischen Tafeln nicht immer die unbequeme
erste Art der Rechnung nötig zu haben, hätten die „recentiores" eine Zeit-
gleichungstabelle entworfen, und zwar von der Art, dass der Rechner gleich
der Unbequemlichkeit des wechselnden adde und minue enthoben sei: „huic
imbecillitati discentium consuluerint, ut sola tantum subtractione perpetuo
ac constanter hoc negotium expediretur". Zu diesem Ziele habe man die
radices der mittleren Bewegungen etwas geändert. „Hoc est illud, quod
Regiomontanus noster docet: si radix temporis posita sit super principium
diminutionis, aequationem dierum semper subtrahendam esse, ut ex differen-
tibus ( = apparentibus) diebus fiant mediocres . . . Contrarium autem fit, si
radix temporis posita fuerit super principium additionis". (Dann wäre näm-
lich die Zeitgleichung stets zu addieren, um die mittlere Zeit zu erhalten)
„Visa est autem eis aptior in hac tractatione via subtractionis quam additionis".
Darauf wird ein Beispiel gegeben, wie man die radix einer mittleren Be-
wegung zu korrigieren hat, damit sie für die X. Art der Zeitgleichung gilt
Es wird hinzugefügt, dass diese Korrektion nur beim Monde wegen seiner
schnelleren Bewegung in Betracht kommt. Reinhold schliesst seine Darlegung
mit den Worten: „Haec de via subtractionis, quam recentiores in scholas in-
troduxerunt, commemorare nunc breviter volui, a paucis recte tradita . . . "
Hiernach sollte man erwarten, dass in der ältesten Ausgabe der Alfon-
sinischen Tafeln, welche ja keine Zeitgleichungstabelle enthält, die radices
der mittleren Bewegungen etwas andere seien als in den späteren Ausgaben,
was indessen nicht der Fall ist.
- 14 —
heutigen Praecession entspricht, obwohl sie den Vollkreis erst in
49000 Jahren durchläuft und daher kaum den halben Betrag der
unserigen darstellt, und zweitens in eine periodische Ungleichheit
oder Trepidation6) mit einer Periode von 7000 Jahren. Ist x der
Betrag dieser Trepidation, so wird sehr nahe
x=9 ° sin a 7)
wobei a einen nach Art der mittleren Bewegungen gleichförmig
mit der Zeit wachsenden Winkel von der Periode 7000a bedeutet.
In den alten Ausgaben sind daher zur Berechnung der
Praecession 3 Tafeln gegeben, nämlich
a. eine „tabula prima motus medii augium et stellarum fixa-
rum", welcher der säkulare Teil der Praecession von Christus bis
zum Datum entnommen wird. Für die Fundamentalepoche selbst
ist derselbe Null, so dass man hier keine radix zu addieren hat.
b. eine „tabula secunda medii motus accessus et recessus
octavae sphaerae", welcher die Bewegung des Argumentwinkels a
entnommen wird, zu welcher noch die zugehörige radix zu addieren
ist, um den Stand des Winkels « für das Datum zu erhalten.
c. eine „tabula aequationum motus accessus et recessus
sphaerae stellatae", in der der Ausdruck 9° sin« fabuliert
ist. Dieser Betrag wird zu dem aus a erhaltenen säkularen Teil
addiert und gibt so die Gesamtpraecession von Christus bis zum
Datum, welche aux communis genannt wird.8)
6. Die Trepidation soll zuerst von Thebit ben Chora im 9. Jahrhundert,
nach anderen im 12. Jahrhundert oder gar noch später aufgestellt worden
sein, welcher sie fälschlich wegen der scheinbar periodisch sich ändernden
Werte der Praezessionsbestimmungen annehmen zu müssen glaubte, während
diese Abweichungen in Wirklichkeit nur auf Rechnung der Beobachtungsfehler
zu setzen sind. Im Mittelalter spielte die Trepidation eine grosse Rolle, und
es wurden verschiedene Theorien über sie aufgestellt, bis sie schliesslich
durch Tycho endgültig beseitigt wurde. Thebit hatte eine rein oscillatorische,
gar keine fortschreitende Bewegung des Frühlingspunktes angenommen. Die
Alfonsinischen Tafeln halten die Mitte zwischen diesem Extrem und der
Wahrheit, indem sie ein säkulares Fortschreiten mit einer periodischen Un-
gleichheit verbinden.
7. Nach Delambre, Hist. d. l'astr. du moy. äge: sin x = sin9° sin a.
8. Herr Herz hält im II. Teil seiner Geschichte der Bahnbestimmung irr-
tümlich die aux communis der Alfonsinischen Tafeln für eine Konstante. Er
verwechselt hier — eine Folge der mehrfach erwähnten Knappheit des Textes
der alten Ausgaben — das Beispiel mit der allgemeinen Rechnungsvorschrift.
— 15 —
Bei der vorliegenden Umrechnung hat Verfasser diese aux
communis direkt für die in Betracht kommenden Jahre von 1250
bis 1650 fabuliert, so dass man sie unmittelbar aus der Tafel I
interpolieren kann.9)
B. Anbringung der Praecession. Die Gesamtpraecession oder
aux communis wird in der Weise angebracht, dass das Deferenten-
apogäum des Planeten, die sogen, aux, damit korrigiert wird.
Dies ist auch der Grund, weshalb die Praecession gelegentlich
als motus augium bezeichnet wird, denn die Apogäen besitzen mit
alleiniger Ausnahme desjenigen des Mondes keine weitere Eigen-
bewegung, und ihre Länge vom jeweiligen Friihlingspunkt wird
daher ebenso wie diejenige der Fixsterne lediglich durch die
Praecession beeinflusst. Als Konstante gegeben ist für jeden
Planeten die Apogäumslänge für die Fundamentalepoche, die radix
augis. Addiert man zu ihr den Praecessionsbetrag bis zum Datum,
so erhält man das instantane Apogäum des Datums, die sogen,
aux propria. Wir haben also die bei allen zu rechnenden Planeten-
örtern zur Anwendung gelangende Gleichung:
radix augis + aux communis = aux propria.
Mit dieser aux propria wird die weitere Rechnung des Planeten-
ortes durchgeführt, welche auf diese Weise sofort den auf
Praecession korrigierten Ort ergibt, der keiner weiteren Korrektion
mehr bedarf.
Aus dieser Anordnung, bei welcher die Praecession nicht an
dem fertigen Tafelort, sondern am Apogäum angebracht wird,
geht hervor, dass die medii motus, also die vom Frühlings-
punkt gezählten mittleren Bewegungen, synodisch zum jeweiligen
Frühlingspunkt gemeint sind. Der Winkel zwischen dem unter
den Fixsternen unveränderlichen Apogäum und dem Anfangspunkt
der Zählung der medii motus ist nämlich stets gleich der variablen
aux propria, woraus unmittelbar hervorgeht, dass dieser Anfangs-
punkt der medii motus der veränderliche jeweilige Friihlingspunkt
ist. Es ist allerdings zu beachten, dass durch die ungleichförmige
9. In den letzten Ausgaben der Alfonsinischen Tafeln ist auch eine Prae-
cessionstafel des Blanchinus aufgenommen, in welcher ebenfalls die aux
communis direkt von HO zu <iO Jahren gegeben ist. Diese Tafel ist in einem
merkwürdigen Optimismus bis zum Jahre 7000 n. Chr. ausgedehnt, wo die
Periode der Ungleichheit geschlossen ist.
— 1 6 —
Bewegung des Frühlingspunktes unter diesen Umständen auch die
Gleichförmigkeit der mittleren Bewegungen beeinträchtigt wird,
doch hat man diesen Einfluss offenbar vernachlässigt.
Die Alfonsinische Planetentheorie.
Die Alfonsinischen Tafeln stehen noch völlig auf dem Boden
der Ptolemäischen Theorie. Die Zahlenwerte sind grösstenteils
verbessert, aber der Mechanismus der Theorie ist derselbe wie bei
Ptolemäus. Daher ist naturgemäss von Störungen nicht die Rede,
vielmehr wird jeder Planet völlig für sich betrachtet, und seine
Bahn um die ruhend gedachte Erde wird durch eine Kombination
von Kreisbewegungen dargestellt. Auch wird die Längenbewegung
ganz unabhängig von der Breitenbewegung betrachtet, indem für
die erstere angenommen wird, dass alle Bewegungen sich in der
Ekliptikalebene vollziehen, und die Neigungen der verschiedenen
Kreise gegen die Ekliptik erst zur Berechnung der Breite heran-
gezogen werden.
Um die Ungleichheiten der Bewegung geometrisch darzustellen,
gibt die Theorie folgende Mittel an die Hand:
1. Den excentrischen Kreis. Indem die Erde etwas aus dem
Mittelpunkt der Kreisbahn herausgerückt wird, so dass ein Perigäum
und Apogäum entsteht, wird bewirkt, dass eine in Wahrheit auf
dem Kreise gleichförmig verlaufende Bewegung von der Erde aus
als ungleichförmig wahrgenommen wird. Dies Mittel findet sich
bei allen Planeten angewendet, es reicht jedoch nur bei der Sonne
aus, um die Bewegung vollständig darzustellen, während alle
anderen Planeten noch weiterer Vorrichtungen bedürfen.
2. Den Epicykel. Man lässt den Planeten nicht unmittelbar
auf der Peripherie des excentrischen Kreises entlang laufen,
sondern erst wieder auf der Peripherie eines kleinen Kreises oder
Rades, dessen Mittelpunkt auf dem excentrischen Kreis fortschreitet.
Der kleine Kreis heisst Epicykel, während der excentrische Kreis
Deferent genannt wird. Der Winkel im Deferenten, gezählt vom
Apogäum aus, heisst centrum, derjenige im Epicykel, gezählt vom
Epicykelapogäum aus, argumentum. Hierdurch kann man 2 Un-
— 17 —
gleichheiten gleichzeitig darstellen, indem nämlich einmal schon
der Mittelpunkt des Epicykels, von der excentrisch gestellten Erde
gesehen, keine gleichförmige Bewegung mehr besitzt, wozu dann
noch eine zweite Ungleichung in Gestalt der jeweiligen Elongation
des Planeten vom Epicykelmittelpunkt kommt. Die erste dieser
beiden Ungleichungen heisst aequatio centri, die zweite aequatio
argumenti. Diese Bezeichnung ist nicht ganz konsequent, denn
die aequatio centri ist eine Korrektion, die am centrum anzubringen
ist, * während die aequatio argumenti eine Korrektion darstellt, die
vom argumentum herrührt.
3. Die Zweiteilung der Excentricität. Ein weiteres Mittel, die
Bewegung zu modifizieren, besteht in der Massnahme, dass die
Bewegung des Epicykelmittelpunkts auf der Deferentenperipherie
nicht nur von der Erde aus gesehen, sondern absolut genommen
mit wechselnder Geschwindigkeit vor sich geht. Diese Bewegung
wird nämlich so angenommen, dass sie von einem gewissen
Punkt der Apsidenlinie, der aber weder mit dem Mittelpunkte des
Deferenten noch mit der Erde zusammenfällt, als gleichförmige
Winkelbewegung wahrgenommen werden würde. Dieser Punkt
wird meist centrum aequans genannt. Da er bei den meisten
Planeten so gelegen ist, dass der Deferentenmittelpunkt gerade
in der Mitte zwischen ihm und der Erde liegt, so hat man die
Theorie dieses centrum aequans auch als Zweiteilung der Excen-
tricität bezeichnet.
4. Ausserdem ist zu erwähnen, dass bei denjenigen Planeten,
deren Bewegungen am schwersten darzustellen sind, nämlich
Merkur und Mond, noch weitere Komplikationen eingeführt sind.
So ist der Mond der einzige Planet, dessen Apogäum eine eigene
Bewegung besitzt, auch dreht sich der Epicykel des Mondes in
entgegengesetzter Richtung wie bei den übrigen Planeten, und
sein centrum aequans hat eine besondere, von den übrigen ab-
weichende Lage. Bei Merkur wiederum erleidet die Peripherie
des Deferenten, während sich der Epicykelmittelpunkt auf ihr fort-
bewegt, fortgesetzte Verschiebungen, indem der Deferentenmittel-
punkt selbst noch wieder auf einem kleinen Kreise rotierend ge-
dacht wird, so dass die wahre vom Epicykelmittelpunkt be-
schriebene Kurve eine ovale Gestalt besitzt.
Von grosser Bedeutung gerade für die Tabulierung ist ferner
— 18 —
der Umstand, dass bei jedem Planeten eine gewisse Beziehung
zur Sonnenbewegung vorhanden ist. Beim Monde wird von einer
Gleichung Gebrauch gemacht, welche die erwähnte Bewegung
seines Apogäums mit dem Sonnenorte in Beziehung setzt. Bei
Merkur und Venus ist je eine Gleichung vorhanden, welche besagt,
dass ihr Epicykelmittelpunkt mit dem mittleren Sonnenorte zu-
sammenfällt. Vom heutigen Standpunkte betrachtet, involvieren
diese Gleichungen die Bewegung der genannten beiden Planeten
um die Sonne. Bei Mars, Jupiter und Saturn endlich ist je eine
Gleichung vorhanden, welche sich unter gewissen Vernach-
lässigungen dahin deuten lässt, dass der Epicykel eines jeden
dieser Planeten nur das Spiegelbild der Erdbewegung ist, so dass
er fortfällt, sobald man der Erde ihre Bewegung erteilt.
Über die Beziehungen aller dieser Gleichungen zur Erd-
bewegung ist bereits genug geschrieben worden, so dass wir uns
hier mit diesen Andeutungen begnügen können. Diese Beziehungen
haben für die Tabulierung die praktische Wirkung, dass bei jedem
Planeten eine Tafel gespart wird, indem man eine der zu fabu-
lierenden Grössen durch Vermittlung dieser Gleichungen aus den
Sonnentafeln entnehmen kann.
Die Sonnentafeln.
Bei der Sonne gibt es nur eine einzige aequatio oder Un-
gleichheit, welche an ihrem mittleren Orte anzubringen ist, um den
wahren zu erhalten. Um diese Ungleichheit geometrisch darzu-
stellen, genügt es, der Erde eine excentrische Stellung in der
kreisförmigen Sonnenbahn zuzuteilen. Ist in Figur 1 C der Mittel-
punkt dieser Sonnenbahn, E die Erde, so ist Er die Apsidenlinie
und r das Apogäum. Die Bewegung der Sonne S in ihrem
Kreise vollzieht sich mit gleichförmiger linearer Geschwindigkeit,
so dass < y = I'CS gleichförmig wächst. Dieser Winkel heisst
argumentum medium solis. Die Bezeichnung weicht insofern von
der bei den übrigen Planeten gebräuchlichen ab, als sonst der
Winkel im Deferenten centrum genannt zu werden pflegt, während
man unter argumentum denjenigen im Epicykel versteht. Legen
— 19 —
wir diesen Winkel y im Punkte E an, so kommen wir auf einen
mittleren Sonnenort S0, der von dem wahren Ort S um die aequatio
solis x entfernt ist. y-\-x—TES heisst dann das argumentum
aequatum oder korrigierte argumentum. Bezeichnen wir ferner die
gleichförmig wachsende mittlere Länge (medius motus) yES0 mit
so ist ersichtlich, dass jtt = w + y, wo w die Länge des Apogäums
ist, und zwar, wie oben ausgeführt, die instantane Länge des
Datums, also die aux propria. Die wahre Länge der Sonne wird
dann l = yES=fi-\-x (wenn wir das Vorzeichen bei »belassen).
Tabuliert ist /< und x, ersteres mit der Zeit als Tafelargument,
letzteres mit dem argumentum medium y. Um y zu erhalten, bildet
man die aux propria « = «0 + n, wobei wtf die radix augis und
n die aux communis darstellt. Ist so w bekannt, so hat man
y — u — iü. Hiermit entnimmt man die aequatio x und hat
I II —j- cc.
B e i s p i e l . Gesucht die wahre Länge der Sonne für 1477 Sept 20d
6h im ßes m. Z. Toledo (Längendifferenz und Zeitgleichung seien also bereits
angebracht).
Mit Hülfe der Tabelle II schreibt sich dies Datum:
1477.0 + 263d 6 h im 36s, oder als Jahresbruch: 1477.72.
Mit dem letzteren Werte entnehmen wir die aux communis ~ aus Tafel I:
1470.0 19.473
7.7*2 interp. 73
7T^190.546
Tabelle III w0=71°.423
w —90°.9f59.
Ferner entnehmen wir aus Tafel IV und V den medius motus®:
für 1470.0
7a
200d
288.896
197.129
59.139
2.957
0.246
0.001
0.298
60d
6^
1.6m
;x 18vk>.666
daher y— /jl—oj — 97°.697.
— 2 0 —
Damit entnehmen wir die aequatio solis aus Tafel VI:
x = — 2°. 163,
so dass l = ft-\-x= 186°.503.
Die Mondtafeln.
Der Mond bewegt sich auf der Peripherie eines Epicykels,
dessen Mittelpunkt gleichzeitig auf der Peripherie des Deferenten
fortschreitet. Die Bewegung im Epicykel vollzieht sich beim
Monde in entgegengesetzter Richtung wie bei den übrigen Planeten,
nämlich retrograd. Deferent und Epicykel drehen sich also in
entgegengesetzter Richtung.
Es sei in Fig. 2 G der Mittelpunkt des Deferenten, E die
excentrisch gestellte Erde, so dass r das Deferentenapogäum ist.
L sei der Mond selbst und A der Mittelpunkt seines Epicykels.
A besitzt keine "gleichförmige lineare Geschwindigkeit auf dem
Deferenten, sondern bewegt sich so, dass der medius motus u —
•< T E A gleichförmig wächst. Beim Monde spielt also die Erde
selbst die Rolle des centrum aequans. Ebenso wie u wächst
auch das centrum medium y = <£ rEA gleichförmig.
Der Winkel a im Epicykel, welcher argumentum genannt
wird, wird vom Epicykelapogäum aus in dem angegebenen Sinne
gezählt. Man hat indessen zu unterscheiden zwischen einem
wahren Epicykelapogäum E' und einem mittleren F, welch letzteres
dem Punkt F gegenüberliegt, welcher durch CE = EF bestimmt
ist. Entsprechend gibt es ein argumentum medium «, welches
vom mittleren Epicykelapogäum F', und ein argumentum aequatum,
welches vom wahren Epicykelapogäum E gezählt wird und sich
von jenem um die aequatio lcentri x unterscheidet. Gleichförmig
wächst nur das argumentum medium. Um den wahren Winkel
im Epicykel zu erhalten, hat man dies um die periodische, offen-
bar von y abhängige Ungleichheit x zu korrigieren, und erst das
so erhaltene argumentum aequatum kann — mit einem noch zu
— 2 1 -
erwähnenden Vorbehalt — zur Berechnung der Elongation y, der
sogen, aequatio argumenti, dienen.
Die wahre Länge l ist offenbar lediglich gleich ^ ~\~y. Da
aber y mit dem Winkel (« -f- x ) tabuliert ist, so muss zuvor x
mit dem gleichförmig wachsenden y entnommen werden.
Es treten jedoch noch einige weitere Complicationen hinzu,
zunächst die schon mehrfach erwähnte Bewegung des Apogäums.
Wir müssen uns diese Bewegung so vorstellen, dass die ganze
Apsidenlinie um die Erde E als Drehpunkt gedreht wird, so dass
die Punkte TCEF stets in einer Geraden liegen. Diese Drehung
ist retrograd und gleichförmig, und steht dabei in einer eigen-
tümlichen Beziehung zur Sonnenbewegung. Ist nämlich in Figur 3
S0 die mittlere Sonne, A der Epicykelmittelpunkt des Mondes,
so ist stets cJ-T]) ESQ — 80EA. bewegt sich also vom
mittleren Sonnenort ebenso schnell nach rechts fort wie A nach
links. In S0 und S'0 fallen beide zusammen, d. h. bei jedem Neu-
und Vollmond befindet sich der Epicykelmittelpunkt des Mondes
in seinem Deferentenapogäum. (Die wahre Entfernung des Mondes
von der Erde hängt natürlich ausserdem noch von seiner Stellung
im Epicykel ab.) Aus der Figur folgt sofort:
Wegen dieser Beziehung braucht y^ nicht tabuliert zu werden,
tfian stellt es vielmehr mit Hülfe des den Sonnentafeln ent-
nommenen ji@ her.10)
Eine weitere Komplikation tritt bei der aequatio argumenti y
10. Wegen dieser Bewegung des Apogäums ist die wahre Bahn des
Epicykelmittelpunktes nicht mehr ein Kreis und überhaupt keine geschlossene
Kurve. Ihre Gestalt stellt Figur 4 dar. ©x. . . .©5 sind hierin diejenigen
mittleren Sonnenörter, für welche yy = 0 , 180, 360, 180, 360 ist. Für y j > ~ 0
fallen nämlich Epicykelmittelpunkt und Apogäum mit ©j zusammen (A I\). Für
YD — 180 befindet^sich der Epicykelmittelpunkt in A2, das Apogäum in r2, so dass
•A'ilz \ E(^2. Für ^})=: 360 fallen wieder beide in A313 zusammen in der ge-
raden Verlängerung von ®3E, u. s. w. Nach einem vollen, zu © synodischen
Umlauf von A und F sind sie beide in FoA5 angelangt. G\ bis C5 sind die
zugehörigen Mittelpunkte des Deferentenkreises.
Reinhold und andere haben zur Erläuterung der Ptolemäischen Mond-
theorie eine Figur gegeben, bei welcher der Mittelpunkt des Mondepicykels
eine geschlossene, ellipsenähnliche Kurve beschreibt. Diese Darstellnng bezieht
sich offenbar auf die ruhend gedachte Sonne.
— 2 2 —
dadurch ein, dass die Entfernung des Epicykelmittelpunktes von
der Erde nicht konstant bleibt, wodurch auch der Betrag von y
beeinflusst wird. Das Verfahren ist hier folgendes: Man tabuliert
y für eine konstante Entfernung, und zwar ist beim Monde die
grösste Ertfernung EF gewählt, während bei den übrigen Planeten
eine mittlere Entfernung, nämlich der Deferentenradius vorge-
zogen wird. Dadurch erhält man einen Näherungswert ty0, an
dem nun noch eine Korrektion anzubringen ist, um das y selbst
zu erhalten. Die Korrektion muss offenbar von 2 Grössen ab-
hängen: einmal von y0 selber und somit vom argumentum aequa-
tum, und zweitens von der Entfernung des Epicykelmittelpunkts
von der Erde und somit vom centrum. In Figur 5 ist der
Mondepicykel in seiner grössten und kleinsten Entfernung von
der Erde gezeichnet. L, bezw. L' sei der Mond, und es sei
TIL = Jl'L'. Die für das Apogäum geltende aequatio argumenti
y0 ist wie erwähnt tabuliert. Der gleiche Winkel n'L' verursacht
aber im Perigäum eine Elongation, welche y0 um e übertrifft.
Dieser Unterschied e heisst diversitas diametri circuli brevis
oder kurz diversitas diametri. Diese diversitas diametri stellt
also die Differenz der für das Apogäum geltenden aequatio
argumenti, welche tabuliert ist, gegen die entsprechende für das
iPerigäum geltende dar. Diese Differenz ist nur von dem Winkel
m Epicykel, dem argumentum aequatum, abhängig, und ist mit
diesem tabuliert. Offenbar ist sie voll anzubringen im Perigäum,
garnicht im Apogäum. Für die Zwischenlagen aber ist ein Bruch-
teil anzubringen, der in folgender Weise bestimmt wird.
PN ist die Differenz des grössten und kleinsten Abstandes
des Epicykelmittelpunktes von der Erde. Diese Differenz wird in
60 Teile geteilt, welche minuta proportionalia heissen. Für jede
Stellung des Epicykelmittelpunktes lassen sich dann die zuge-
hörigen minuta proportionalia angeben: r ' hat 60, Punkt A hat
soviel, wie auf die Strecke AB gehen, r hat 0 u. s. w. Die
minuta proportionalia sind also gleich der Differenz des jeweiligen
Abstandes gegen den grössten, ausgedrückt in Teilen, deren 60
auf den grössten Wert dieser Differenz gehen. Sie sind nur von
y, dem Winkel im Deferenten, abhängig und mit diesem tabuliert.
Man sieht, dass dann die gesuchte Korrektion von y0 gleich
min. prop.
divers, diam. x
— 23 —
gesetzt werden kann. Sie wird nämlich gleich der diversitas dia-
metri selbst, wenn die minuta proportionalia gleich 60 werden,
also im Perigäum, und verschwindet, wenn diese Null werden,
also im Apogäum.
Bei der gegenwärtigen Umrechnung sind nicht die minuta
proportionalia in dem angegebenen Sinne, sondern unter dem-
selben Titel gleich ihr sechzigster Teil in Dezimalbrüchen gegeben,
womit dann die diversitas diametri nur zu multiplizieren ist.'
Die Berechnung eines Mondortes gestaltet sich demnach folgender-
massen:
Mit der Zeit entnimm /z j und « j und aus den Sonnentafeln //.©,
und bilde yi) =2(//£> — //©), womit « j , bekannt sind.
{aequatio centri x, minuta proportionalia
bilde das argumentum aequatum a + x,
i diversitas diametri,
mit a + x entnimm aus der Tafel der aequationes < aequatio argumenti y0
bilde pars proportionalis — div. diam X minut. prop.
und \y\ — \yQ\ + pars prop. Der absolute Wert von y0 muss stets ver-
grössert werden, y erhält dasselbe Vorzeichen wie y0.
Dann wird l d — p ] ) + / / .
B e i s p i e l : Gesucht die wahre Länge des Mondes für 1477 Sept.
2()d fth 1m 36s M. Z. Toledo, d. i. 1477.0 + 263d 6h 1m 36s oder 1477.72.
Wir entnehmen aus der Tafel der mittleren Bewegungen IV —V:
ß'l) «D ß®
1470.0 263.704 324.688 288.896
7a 212.041 287.175 0.298
200d 115.279 92.998 197.129
60d 70.584 63.899 59.139
3d 39.529 39.195 2.957
6h 3.294 3.266 0.246
1.6m 0.014 0.014 0.001
ßD = 344.445 aj) = 91.235 />0 — 188.666
ß® = 188.666
ßD — ß® = 155.779
a©) = Bll°.558
— 24 —
Mit yd gehen wir in die Tafel VII ein und entnehmen die aequatio
centri:
x = = — 7.033 sowie min. prop. = 0.133
«]) = 91.235
ay + .£ = 84.202
Mit aj) + # entnehmen wir aus derselben Tafel die aequatio argumenti:
2A> — — 4.864 sowie divers, diam. = 2.503
pars. prop. 0.333 X 0.133 = 0.333
~y = —1Ü~97
= 344.445
= 339.^248
Die Tafeln des Mars, Jupiter, Saturn.
Die 3 Planeten Mars, Jupiter und Saturn werden ganz gleich-
artig behandelt. Der Planet P (Figur 6) bewegt sich auf einem
Epicykel, dessen Mittelpunkt A sich auf dem Deferenten bewegt.
Die Bewegung vollzieht sich in beiden Kreisen im Sinne der
wachsenden Längen. Die Erde E nimmt wieder eine excentrische
Stellung im Deferenten ein. Hier ist nun die Zweiteilung der
Excentricität durchgeführt: Die lineare Bewegung von A auf dem
Deferenten ist nicht gleichförmig, sondern vollzieht sich so, dass
sie vom centrum aequans M aus als gleichförmige Winkel-
bewegung erscheint. M liegt dabei jenseits des Deferentenmittel-
punktes G so, dass EG = CM ist. Der Winkel y = rMA, das
centrum medium, wächst also gleichförmig. Legen wir y in E an,
so kommen wir auf A0 und haben, um den wahren Epicykel-
mittelpunkt A zu erhalten, noch die aequatio centri x anzubringen.
y -\- x = FEA heisst daher centrum aequatum. Zählen wir die
Winkel vom Frühlingspunkte aus, so haben wir, da <r T E r , wie
mehrfach erwähnt, gleich der aux propria co ist, die mittlere Länge
des Epicykelmittelpunktes gleich co -j- y, die wahre gleich w + y + x,
oder wenn wir co -f- y durch den medius motus ^ ersetzen:
t-i bezw. /l + x. Um endlich von dem wahren Epicykelmittel-
— 25 —
punkt auf den Planeten selbst zu kommen, haben wir weiter die
aequatio argumenti y anzubringen, welche die Elongation des
Planeten von seinem Epicykelmittelpunkte darstellt und von dem
Winkel im Epicykel, dem argumentum, abhängt. Wir haben
wieder zwischen einem wahren Epicykelapogäum E' und einem
mittleren M' zu unterscheiden, zwischen welchen der Winkel x
liegt. Da das gleichförmig wachsende argumentum medium a
von M aus gezählt wird, so ist nicht dieser Winkel selbst für
die Tabulierung von y zu verwenden, sondern das argumentum
aequatum a—x — E'AP. Die aequatio centri x ist also sowohl am
centrum medium y als am argumentum medium « anzubringen, um
das centrum aequatum und argumentum aequatum zu erhalten,
und zwar ist es bei dem einen stets mit dem entgegengesetzten
Vorzeichen anzubringen wie bei dem anderen. Das aus den
Tafeln entnommene Vorzeichen gilt stets für die Anbringung an y.
Die wahre Länge des Planeten wird nach dem vorstehenden:
l = ji + x -f- y.
Hiervon ist u in der Tafel der mittleren Bewegungen
fabuliert, x in der Tafel der aequationes des betreffenden
Planeten mit dem Winkel y, der aus fi durch Vermittelung von w
erhalten wird, y ist mit «—x fabuliert, und es müsste demnach
auch der Winkel « fabuliert sein, wenn nicht die früher erwähnte
Beziehung zur Sonnenbewegung es gestattete, ihn mit Hülfe der
Sonnentafeln zu ermitteln. Es besteht nämlich die einfache
Gleichung:
« + /t = /.iq
woraus sofort« aus «® und dem schon fabulierten/« erhalten wird.
Indessen tritt wie beim Monde so auch hier eine weitere
Komplikation dadurch ein, dass sich y nur für eine konstante
Entfernung EA des Epicykelmittelpunktes von der Erde fabulieren
lässt. Das Verfahren ist hier insofern ein anderes, als nicht die
grösste Entfernung, sondern eine mittlere, nämlich der Radius
des Deferenten, für die Tabulierung gewählt wird. In Fig. 7 sei
E die Erde, G der Deferentenmittelpunkt. Der Epicykel ist für
3 Lagen: Apogäum (T), Perigäum (/ ') und mittlere Entfernung
04) gezeichnet. Es ist also EA = CA. P0 bezw. P und P sei
der Planet, und es sei der Bogen E'P0 = TIP — II P '. Die Tafel
gibt unter der Rubrik aequatio argumenti nur den für die mittlere
— 2 6 —
Entfernung geltenden Wert y0, der für alle Werte des Bogens
E'P0 tabuliert ist. Wir können nun am Deferenten 2 Teile unter-
scheiden, deren einer oberhalb der gebrochenen Linie BEA liegt
und alle Entfernungen enthält, die grösser sind als die mittlere,
während der andere unterhalb dieser Linie alle kleineren enthält.
Vergleichen wir nun die 3 Stellungen, so ist ersichtlich, dass die
zu dem gleichen Bogen J I P gehörige aequatio nEP stets kleiner
ist als y0. Die Differenz beider heisst diversatis diametri in
longitudinem longiorem. Andererseits ist der zu dem ebenfalls
gleich grossen Bogen TIP gehörige Winkel ll'EP stets etwas
grösser als das fabulierte y0. Die Differenz dieser beiden Winkel
heisst diversitas diametri in longitudinem propiorem. Die ge-
genannten Differenzen sind beide für alle Werte des argumentum
aequatum E'AP0 tabuliert und können zugleich mit der aequatio
argumenti y0 entnommen werden. Damit ist man bereits in der
Lage, für 4 bestimmte Stellungen des Epicykelmittelpunktes das
definitive y anzugeben: fiir A und B ist es unmittelbar gleich
dem Tafelwert y0, für F hat man den absoluten Wert von y0
um die ganze divers, diam. in longitud. longior. zu verringern,
und für F' hat man die ganze divers, diam. in longitud. propior.
zu demselben zu addieren.
Für die Zwischenlagen werden in analoger Weise wie beim
Monde Proportionalteile hergestellt. Betrachten wir zuerst die
Deferentenhälfte mit der longitudo longior. Die Differenz FN~ KB
der grössten und mittleren Entfernung des Epicykelmittelpunktes
von E ist in 60 Teile geteilt. Dies sind die minuta proportionalia
longiora. Für B sind sie Null, für einen beliebigen Punkt H des
Deferenten gleich HQ, für F gleich 60. Dann wird
. . . divers, diam. >< min. prop.
Bei der unteren Deferentenhälfte wird entsprechend die
Differenz BG zwischen kleinstem und mittlerem Abstand in 60
minuta proportionalia propiora geteilt. Für B sind diese Null,
für D gleich DF, für r' gleich 60, und es wird
. . . divers, diam. X m i n - prop. \y\ = m H f.f\
— 27 —
Die minuta proportionalia sind mit dem centrum aequatum
y + x tabuliert und werden gleich mit der zugehörigen Benennung
longiora oder propiora (l oder p) entnommen. Für y-)-a; = 0
sind sie gleich 60 longiora, kurz vor y -j- x = 90° werden sie Null,
und wachsen nun als propiora bis 60, was bei y - j - x = 1 8 0 °
erreicht wird. Kurz nach y + x = 270° sind sie wieder Null und
werden aufs neue longiora.
Um die diversitas diametri zu entnehmen, hat man zwischen
2 Spalten zu wählen, welche je nach ihrer Ueberschrift zur
longitudo longior oder propior gehören. Man wählt die mit den
minuta proportionalia gleichnamige Spalte und entnimmt aus ihr mit
a—x die diversitas diametri, worauf man die pars proportionalis
divers, diam. X min. prop.
= 6 0 — '
zu bilden und dies nach obiger Massnahme additiv oder subtraktiv
an dem absoluten Wert von yQ anzubringen hat.
In der vorliegenden Umrechnung ist auch hier gleich der
sechzigste Teil der minuta proportionalia in Dezimalbrüchen
tabuliert, so dass hier die pars proportionalis = divers, diam
X min. prop. zu setzen ist.
Die Berechnung der wahren Länge gestaltet sich demnach bei den
3 Planeten Mars, Jupiter, Saturn folgendermassen:
Entnimm aus Tafel IV u. V : jx und //©.
bilde a ~ ,'/@ — [l
bilde yr=zfi — o), wo die aux propria (o ~ co0 + ~ aus Tafel III und I erhalten
wird. Damit hat man «, y, ju
Mit y entnimm aus d. Tafel d. aequationes aequatio centri x und bilde: ^ y-\-x
( longiora oder
Mit y x entnimm minuta proportionalia: < p r 0 p j 0 r a
. . . . , . ( diversitas diametri l. oder p. Mit a — x entnimm: < ( und aequatio argumenti //0.
Bilde \y\ — \y0\ + minut. proport. x divers, diam.,
wo das obere Zeichen für longiora, das untere für propiora gilt, y erhält
dasselbe Vorzeichen wie y0. Dann wird
l = iL + x + y.
- 2 8 —
B e i s p i e l : Gesucht die wahre Länge des Mars für 1477 Sept.
20d 6*1 l m 36s M. Z. Toledo, d. i. 1477.0-f-263d 6h 1.6m oder 1477.72.
Wir entnehmen aus der Tafel der mittleren Bewegungen IV und V:
1470.0 71.11 288.896
7a 260.04 0.298
200d 104.81 197.129
60d 31.44 59.139
3d 1.57 2.957
6*1 0.13 0.246 Tafel 1 : 7i = 19.546
1.6m 0.001 Tafel III : w0 = 115.204
= 109.10 = 188.666 (0 = 134.750
= 109.10 ß's = 109.10
«c? = ve — = 79.57 a, JJ 4 — w = 334.35
Damit sind //, y bekannt, und wir gehen nun an die Berechnung der
Ungleichheiten.
Mit y gehen wir in die Tafel X ein und entnehmen die aequatio centri:
x = + 4.54, so dass wird y + x — 338.89
a — x — 75.03
Mit Y~h x entnehmen wir ferner:
min. prop. = 0.93 l.
Mit a — x entnehmen wir:
aequatio argumenti yQ = + 28.53, sowie divers, diam. I — 1.92
pars proport. 1.79 x 0.93 —1.79
y = + 26.74
dazu x + 4.54
jn = 109.10
l g = 140°.38
Die Venustafeln.
Die Theorie der Venus stimmt bis auf eine geringe Aenderung
mit derjenigen der 3 äusseren Planeten überein. Hier tritt nämlich
statt der für die letzteren geltenden Gleichung_« -f {i = ftQ eine
— 29 —
andere Gleichung auf, welche ebenfalls den Sonnenlauf mit dem
des Planeten in Beziehung bringt. Diese Gleichung lautet:
f(© = / 1 $
oder da stets /.i = 10 -f- y ist: w@ -f-y© = cag + J 9-
Soweit gilt diese Beziehung sowohl für Venus als für Merkur.
Venus hat die weitere Eigentümlichkeit, dass sie (als einziger
unter den Planeten) dasselbe Deferentenapogäum besitzt wie die
Sonne, so dass
cjQ — wg und folglich auch y@=-y2-
Diese Beziehungen bewirken, dass in Tabelle III für Sonne
und Venus dasselbe w0 angegeben ist, sowie dass von den gleich-
förmigen Bewegungen der Venus-Theorie nur eine, nämlich «9
fabuliert ist, während man und yg mit Hülfe der Sonnen-
tafeln ermittelt. Die Theorie der Ungleichheiten ist mit der der
3 äusseren Planeten identisch.
Die Rechnung eines Venus-Ortes gestaltet sich demnach folgendennassen:
Entnimm aus der Tafel IV und V « q und ,«q, und setze letzteres
gleich [j.q. Bilde ferner yg —>», wo tu — w0 -f- - aus der Tafel III
und I erhalten wird. Damit hat man y, a. Die weitere Rechnung vollzieht
sich nach demselben Schema wie bei den 3 äusseren Planeten:
Mit y entnimm aus Tafel IX: aequatio centri x und bilde 1 ' [ a — x
Mit y-\-x entnimm: minut. proport. longior. oder propior.
, . f divers.diametri l. oder p. Mit a — x entnimm: { t. .. I aequatio argumenti y0
Bilde \y\ — \yQ\ -P minut. proport. X divers, diam.,
wo das obere Zeichen für longiora, das untere für propiora gilt, y erhält
dasselbe Vorzeichen wie y0. Dann wird
l 2 =m9 + s + 2/
Be i s p i e l : Gesucht die wahre Länge der Venus für 1477 Sept. 20^
im 3 G s m. Z. Toledo, d. i. 1477.0+ 263* 6^ 1.6™ oder 1477.72.
- 30 -
Wir entnehmen aus der Tafel der mittleren Bewegungen IV und V:
« 2 m
1470.0 82.12 288.896
7a 136.43 0.298
200d 123.30 197.129
60d 36.99 59.139
3d 1.85 2.957
6h 0.15 0.246 Tafel 1 TZ — 19.546
1.6m 0.00 0.00t Tafel III ojq = 71.423
a 9 = 20.84, /.X® ~ !JL 2 = 188.666 w = 90.969
w 90.969
r© = r 2 = 9^.697. Damit sind «, //., y bekannt.
Mit y gehen wir in die Tafel IX ein und entnehmen die aequatio centri:
- x — 95.58
* = - 2 . 1 7 , so dass wird { f a _ _ x =% i m
Mit y-\-x entnehmen wir ferner: minut. prop. = 0.13jp.
Mit a — x entnehmen wrir:
aequatio argumenti ^/0== + 9.60 sowie divers, diam. p. = 0.13
pars proportion. 0.02 X 0 .13= 0.02.
y — -j- 9.62
x — — 2.17
188.67
IQ = 19 8°. 12
Die Merkurstafeln.
Auch den Merkurstafeln liegt, mit einigen Modifikationen,
dieselbe Theorie zu Grunde, die für die 3 äusseren Planeten aus-
einandergesetzt ist.
Wie schon im vorigen Kapitel beiläufig erwähnt, tritt hier
statt der Gleichung « + u — u® eine andere Beziehung zur
Sonnenbewegung auf, nämlich
fi $ = /<0,
ohne dass aber wie bei Venus auch w j gleich w ö wäre. Daher
bleiben auch 7$ und y@ verschieden.
Indessen tritt bei Merkur noch eine weitere, ganz eigenartige
— 31 —
Komplikation ein. Zunächst liegt (Figur 8) das centrum aequans
M nicht jenseits des Deferentenmittelpunktes G, sondern halbiert
die Entfernung der Erde E von C, so dass
EM = MC.
Nun ist aber C nur der mittlere Ort des Deferentenmittel-
punktes. Der wahre Ort desselben ist niemals in 0, sondern
bewegt sich auf einem kleinen Kreise um C, dessen Radius CM
ist. Diese Bewegung ist so zu verstehen, dass die Apsidenlinie
l"r mit den Punkten E und M ihre Lage unverändert beibehält,
während sich die Peripherie des Deferenten in dem Masse, wie
A auf ihr fortwandert, etwas hin und herschiebt. Die Folge da-
von ist, dass die wahre Bahn, die von A beschrieben wird, nicht
mehr einen Kreis, sondern eine längliche geschlossene Kurve
darstellt. Diese Kurve ist in Figur 9 abgebildet.11) Die Bewegung
im kleinen Kreise geschieht entgegen den wachsenden Längen,
also auch entgegen der Bewegung des Epicykelmittelpunktes.
Ist das Centrum des Deferenten in CV so befindet sich der Epi-
cykel im Apogäum V. CJ" ist gleich dem Deferentenradius oder
der mittleren Entfernung. Hier ist daher die Entfernung von der
Erde am grössten. Der Deferentenmittelpunkt schreitet nun auf
dem kleinen Kreise nach rechts fort, der Epicykelmittelpunkt auf
der Deferentenkurve nach links, so dass immer die Verbindungs-
linien C2A, G%H, MV, CaK, C-0B, 6', 1 gleich der konstanten
mittleren Entfernung sind. Die resultierende Kurve, welche der
Epicykelmittelpunkt beschreibt, ist seitlich abgeplattet, aber keine
Ellipse, sie besitzt vielmehr nur eine Symmetrieachse. Zwei
U. Diese Figur gibt Reinhold in den „Theoricae novae planetarum Pur-
bachii, ab Erasmo Reinholdo Salveldensi pluribus figuris auctae etc." (154-2).
Die aus der Ptolemäischen Theorie resultierende ovale Kurve scheint zuerst
von Arzachel (1080) ausgezogen worden zu sein. Sie findet sich in einer
durch die Alfonsinischen Gelehrten ins Spanische übersetzten Schrift dieses
Astronomen in den „Libros del saber de astronomia del Rey D. Alfonso X
de Castilla etc. por D. Rico y Sinobas, Madrid 186,'i—1867". Die dortige
Figur ist mit den richtigen Zahlenverhältnissen gezeichnet, wodurch die Kurve
einer Ellipse sehr ähnlich wird. Diese Figur des Arzachel ist leider vielfach
nicht richtig ausgelegt worden, namentlich von Mädler (Gesch. d. Himni.
Kunde), Wolf (Gesch. d. Astron.) und Herz (Gesch. d. Bahnbest.), welche
den kleinen Kreis in der Mitte der Kurve für das Sonnenzeichen halten.
— 32 —
Punkte, nämlich A und B, haben die mittlere Entfernung von der
Erde E und teilen die Kurve in zwei Hälften, in deren oberer
nur Entfernungen vorkommen, welche grösser als die mittlere
sind, während in der unteren nur kleinere Entfernungen vorhan-
den sind. In der unteren Hälfte gibt es indessen 2 Punkte
kleinster Entfernung, nämlich H und K, während im Perigäum r'
die Entfernung schon wieder etwas gewachsen ist. Es wird im
folgenden gezeigt werden, in welcher Weise dies in den Tafeln
zum Ausdruck kommt.
Die Art und Weise, wie die aequatio argumenti y fabuliert
und korrigiert wird, ist genau dieselbe wie früher. Auch hier
wird ein Näherungswert y0 fabuliert, der für die mittlere Ent-
fernung, also für die Punkte A und B gilt. Der Unterschied
des fabulierten y0 gegen den entsprechenden für die grösste
Entfernung (T) geltenden Wert der aequatio argumenti heisst
auch hier diversitas diametri in longitudinem longiorem und wird
mit dem Winkel im Epicykel, dem argumentum aequatum, ent-
nommen. Ebenso ist in einer zweiten Spalte der Unterschied
des fabulierten y0 gegen den entsprechenden für die kleinsten
Entfernungen (H und K) geltenden Wert unter dem Titel: diver-
sitas diametri in longitudinem propiorem mit demselben argumen-
tum aequatum fabuliert.
Desgleichen wird wie früher die Differenz l'N des grössten
und mittleren Abstandes in 60 minuta proportionalia longiora
geteilt, und die Differenz QL des mittleren und kleinsten in 60
minuta proportionalia propiora. Zu jedem Punkt der Deferenten-
kurve gehört dann eine bestimmte Anzahl dieser minuta, und
zwar longiora oder propiora. So hat r 60 longiora, A hat 0,
H hat 60 propiora, T' 40 propiora, K 60 propiora, B hat wieder 0
u. s. w. Merkur ist der einzige Planet, bei welchem die
minuta proportionalia für das Perigäum nicht 60, sondern nur
40 betragen. Dieser Umstand ist überhaupt das einzige Merk-
mal, welches uns in den Merkurstafeln die Berücksichtigung der
Ptolemäischen Lehre von der Kreisbewegung des Deferenten-
mittelpunktes verrät, denn die sonstige Behandlung ist vollkommen
dieselbe wie bei den übrigen Planeten. Da die gegenwärtige
Umrechnung, wie schon mehrfach erwähnt, gleich den sechzigsten
— 33 —
Teil der minuta proportionalia gibt, so findet man hier für das
40 Merkursperigäum gQ = 0.67 propiora.
Die Berechnung eines Merkurortes geschieht demnach nach folgendem
Schema:
Entnimm aus Tafel IV und V « £ und //@, und setze letzteres gleich
Bilde ferner YQ — ß Q— a>, wo u) = oj0 + ~ aus Tafel III und I er-
halten wird. Damit hat man /1, y, «•
Mit y entnimm aus Tafel VIII: aequatio centri x und bilde j
' I ö — x
Mit y-\-x entnimm: minut. proport. longior. oder propior.
, . | divers, diametri l. oder p. Mit a — x entnimm: . ,.
I aequatio argumenti y0.
Bilde \y\ — \y0\ q i minut. proport. X divers, diam.,
wo das obere Zeichen für longiora, das untere für propiora gilt, y erhält
dasselbe Vorzeichen wie y0. Dann wird
l 5 = p. $ + # + >/•
B e i s p i e l : Gesucht die wahre Länge des Merkur für 1477 Sept.
20<* ßh Im 3BS M. Z. Toledo, d. i. 1477.0 -f- 263d 6 h 1.6m oder 1477.72.
Wir entnehmen aus der Tafel der mittleren Bewegungen IV und V:
/-*©
1470.0 152.80 288.896
7^ 23.84 0.298
2004 261.34 197.129
60d 186.40 59.139
3 d 9.32 2.957
6h 0.78 0.246 Tafel I: tt == 19.546
1.6m o.OO 0.001 Tafel I I I : = 190.659
« 5 — 274.48 //@ = / / 5 = 188.666 — 210.20o
w = 210.205
=338.461 Damit sind «, //, y bekannt.
Mit y gehen wir in die Tafel VIII ein und entnehmen die aequatio centri:
x = -f- 0.95, so dass wird y + x = 339.41
a — x — 273.53
— 34 —
Mit y + x entnehmen wir ferner:
min. prop. = 0.87 l.
Mit a — x entnehmen wir:
aequatio argumenti y0 — — 20.10, sowie divers, diam. /.—2.39
pars proport. 2.08 X 0.87 = 2.08
y = — 18.02
x = + 0.95
— 17.07
^ = 188.67
= 17P.60.
Die Breitentafeln.
Die Breitenbewegung ist in den Alfosinischen Tafeln nur
sehr roh dargestellt und kann keinen Anspruch auf erhebliche
Genauigkeit machen. In den alten lateinischen Ausgaben befinden
sich die Breitentafeln bei den Tafeln der passiones, woselbst sie
für jeden Planeten den 4. Teil einer Seite einnehmen. Nur in
der ältesten Ausgabe von 1483 sind die Breiten aller Planeten in
einer Tafel vereinigt, eine Anordnung, die auch bei der vorliegenden
Umrechnung befolgt wurde. Nur die Mondbreiten sind etwas
ausführlicher fabuliert, obwohl sie sehr viel einfacher darzu-
stellen sind.
1. Die Breitentafel des Mondes.
Die Breitentheorie des Mondes ist von allen Planeten am
einfachsten. Die Ebene des Epicykels fällt stets mit der Ebene
des Deferenten zusammen, so dass der Epicykel garnicht be-
rücksichtigt zu werden braucht. Ist (Figur 10) e die Erde, l
der wahre Ort des Mondes in seiner Deferentenebene, L0 seine
Projektion auf die Ekliptik, so dasss yA> = h d i e w a h r e L ä nS e
des Mondes ist, welche gerechnet vorliegen muss, so ist l0el
die gesuchte Breite b%. Da die Neigung i des Deferenten gegen
die Ekliptik konstant ist, so kann 1$ unmittelbar mit dem Winkel
— 35 —
SIEL tabuliert werden. Dieser Winkel heisst argumentum latitudi-
nis. Nennen wir ihn u, so ist
sin 65 = sini. sinw
Da i = 5° klein ist, so können wir ohne erheblichen Fehler
u = SlLt setzen, unter Vernachlässigung der Reduktion auf die
Ekliptik. Dann wird
u = lj)—qp,
wenn ß s die Länge des aufsteigenden Knotens der Mondbahn
(caput draconis lunae) ist. Der Mond ist nun der einzige Planet,
bei dem die Knotenlinie eine Bewegung besitzt. Sie durchwandert
die Ekliptik entgegen den wachsenden Längen mit gleichförmiger
Geschwindigkeit. Infolgedessen ist der verus locus ß (— Y ß )
gleich 360° vermindert um den medius motus ß ( = Y ü ß ) . Der
letztere ist tabuliert, und man hat also den Tafelwert von 360°
abzuziehen, um die Knotenlänge ßx> zu erhalten. Mit Hülfe der
gerechnet vorliegenden Länge stellt man sich darauf das argumentum
latitudinis u her und entnimmt mit diesem aus der Breitentafel
unmittelbar die Mondbreite.
Be i s p i e l : Gesucht die Mondbreite für 1477 Sept. 20d Gh l m 36s M. Z.
Toledo, d. i. 1 4 7 7 . 0 2 6 3 d 6h l m H(>s. Gegeben ist für denselben Zeitpunkt
h =339°.250.
Wir entnehmen den medius motus ß aus Tafel XIII und XIV:
1470.0 R4.65
7a 135.40
200<l 10.59
60<J 8.18
3<i 0.16
6h O.Ol
med. mot. ß =213.99
daher ß j = 146.01
ly, — 339.25
: 193.24; damit entnehmen wir der Breitentafel XV:
— — 10.143.
— 36 —
2. Die Breitentafeln des Mars, Jupiter, Saturn.
Die 3 äusseren Planeten sind auch in Bezug auf die Breiten-
theorie ganz gleichartig behandelt. Der Deferent hat eine kon-
stante Neigung zur Ekliptik, und auch die Knotenlinie besitzt eine
konstante Lage. Die Ebene der Epicykels ist (Figur 11) in allen
Lagen parallel zur Ekliptik12) und fällt daher für die beiden Knoten
überhaupt mit der Ekliptik zusammen, so dass hier der Planet
die Breite Null hat, an welchem Punkte des Epicykels er sich
auch befindet.
Man kann offenbar im Deferenten einen Punkt a grösster
nördlicher Breite und einen solchen b grösster südlicher Breite
angeben. Bei Mars fällt der erstere mit dem Apogäum zusammen,
der letztere mit dem Perigäum, so dass seine Knotenlinie senkrecht
zur Apsidenlinie steht. Bei Jupiter und Saturn ist dies nicht der
Fall, obwohl auch bei ihnen das Apogäum in diejenige Hälfte des
Deferenten fällt, welche nördliche Breite besitzt. Bei Jupiter liegt
das Apogäum 20° westlich, bei Saturn 50° östlich des Punktes
grösster nördlicher Breite. Die Länge des Epicykelmittelpunktes,
gezählt in der Bahn von diesem Punkte grösster nördlicher Breite
ab ist daher für Mars y + x (d. i. das centrum aequatum)
Jupiter y + x—20°
Saturn y + x + 50°.
Dieser Winkel soll im folgenden kurz mit y bezeichnet werden.
Die Tabulierung geschieht dann folgendermassen: Für jeden
der beiden Punkte a und b ist die gesamte, aus der Neigung
des Deferenten und des Epicykels resultierende Breite fabuliert.
Dieselbe ist nur noch vom Winkel im Epicykel a—x abhängig,
12. Es scheint nicht ganz sicher zu sein, ob der Epicykel wirklich als
stets parallel zur Ekliptik anzusehen ist, oder ob er nicht doch geringe
Schwankungen ausführt. Nach Herrn Herz (Gesch. d. Bahnbest.) ist letzteres
der Fall: „Ptolemäus . . . nahm die Neigung des Deferenten I sowie die
Neigung des Epicykels i verschieden an. Man sieht aber, dass in der Theorie
der Bewegung dadurch keine wesentliche Aenderung eintritt . . Nach
Tannery (Recherches sur l'histoire de l'astronomie ancienne) bleibt der
Epicykel stets sich selbst parallel: „il (Ptolemee) considere le plan incline
de l'epicycle comme restant parallele ä lui-meme dans la circulation de
l'epicycle sur l'excentrique". Peurbach und seine Commentatoren geben nur
soviel an, dass die Schnittlinie der Epicykelebene mit der Deferentenebene stets
parallel zur Ekliptik bleibt. Wie dem auch sei, für den vorliegenden Zweck
genügt jedenfalls die Annahme der Parallelität.
— 37 —
und wird mit diesem entnommen. Die beiden Spalten sind
überschrieben: latitudo septentrionalis und latitudo meridionalis.
Da die Entfernungen der Punkte A und B von der Erde nicht
gleich gross sind, werden auch die beiden tabulierten Grössen
etwas von einander abweichen. Was man aus diesen beiden
Spalten entnimmt, ist also unmittelbar die gesuchte Gesamt-
breite des Planeten für den Fall, dass sich sein Epicykel-
mittelpunkt gerade in A oder B befindet. Für die Zwischen-
lagen werden ganz analog dem früher auseinandergesetzten Ver-
fahren mit Hülfe von minuta proportionalia die entsprechenden
Proportionalteile gebildet. Für die beiden Knoten, d. i. für / = 90°
und für / = 270° sind diese minuta proportionalia Null, so dass
auch die Breite verschwindet, für / = 0° sind sie gleich 60 sept., so
dass hier die tabulierte latitudo sept. mit zu multiplizieren ist, und
also voll in Kraft tritt. Für / = 180° dagegen sind die minuta
proportionalia gleich 60 mer., so dass hier die latitudo meridionalis
unvermindert resultiert. Die minuta proportionalia sind mit y
fabuliert. In der gegenwärtigen Umrechnung sind sie wie früher
gleich durch 60 dividiert, so dass man sie lediglich mit der
latitudo septentrionalis oder meridionalis zu multiplizieren hat.
Die Berechnung der Breite gestaltet sich demnach für die 3 äusseren
Planeten folgendermassen:
bilde / = y + x für Mars
y + x — 20° „ Jupiter
y + x + 50° „ Saturn.
Mit y entnimm aus Tafel XVI: minuta proportionalia.
Mit a—x „ „ „ „ : latitudo, und zwar:
septentrion. (+) , wenn y zwischen 270°—0°—90° liegt,
meridional. (—), „ „ » ^70° „
Dann wird: b — latitudo X minut. proport.
B e i sp i e l . Gesucht die Breite des Mars für das frühere Datum,
Wir übernehmen die Werte:
y + x = 338.89 = y
a — x = 75.03
38 —
Mit y entnehmen wir die minuta prop. = 0.93. Beim Interpolieren ist
zu beachten, dass die Tafel von 6 zu 6 Grad fortschreitet.
Da y zwischen 270—0—90° liegt, wählen wie die Spalte + und ent-
nehmen mit a—x: latitudo = 0.64
X 0.93 = + 0°.595 = b<$.
3. Die Breitentafel der Venus.
Bei der Breitentheorie des Merkur und der Venus, welche sich
nur wenig unterscheiden, treten neue Komplikationen hinzu. Eine
Vereinfachung besteht allerdings zunächst darin, dass bei beiden
Planeten die Apsidenlinie senkrecht zur Knotenlinie des Deferenten
steht, so dass Apogäum und Perigäum des Deferenten die
grössten Breiten haben. Die Knotenlinie ist auch hier unbe-
weglich, dagegen ist die Neigung der Deferentenebene variabel
(Figur 12.). Als ihre mittlere Lage kann man die Ekliptik
bezeichnen. Um diese mittlere Lage führt sie eine Schaukelbewegung
aus, deren Periode mit einem Umlauf im Deferenten zusammen-
fällt. Befindet sich der Epicykelmittelpunkt in einem der beiden
Knoten, so fällt die Deferentenebene stets mit der Ekliptik zu-
sammen. Befindet er sich in r oder r', so ist jedesmal gerade
das Maximum des Ausschlages erreicht. Die Folge ist, dass der
Epicykelmittelpunkt niemals auf die andere Seite der Ekliptik ge-
langt, sondern dieselbe nur in den beiden Knoten berührt. Der
hierdurch entstehende Teil der Breite, welcher bei Venus stets
nördlich, bei Merkur stets südlich ist, heisst deviatio deferentis
ab ecliptica. Da diese deviatio in den Tafeln von der durch den
Epicykel hervorgerufenen Breite völlig getrennt ist und einfach
additiv hinzugefügt wird, so werden wir sie auch im folgenden
bei Seite lassen und den Deferenten als mit der Ekliptikalebene
zusammenfallend betrachten.
Bei Merkur sowohl wie Venus bleibt sich der Epicykel während
seines ganzen Umlaufes parallel, besitzt also eine konstante Neigung
gegen die Ebene des Deferenten. Die beiden Figuren 13 und 14
sind vom nördlichen Pol der Bahnebene gesehen zu denken. Der
Deferent erscheint dann kreisförmig, der gegen ihn geneigte Epicykel
dagegen perspektivisch verkürzt, und die Figuren lassen den Sinn
dieser Neigung erkennen: Befindet sich der Epicykelmittelpunkt
— 39 —
im Apogäum r, und bewegt sich der Planet vom Epicykelapogäum
II vorwärts, so geht er bei der Venus nach Norden, bei Merkur
nach Süden.
Die sich selbst parallel bleibende Lage eines frei herumge-
tragenen Epicykels war aber den Alten bekanntlich eine fremde
Anschauung. Man beurteilte vielmehr die jeweilige Stellung des
Epicykels nach seiner Neigung zum Visionsradius. Die letztere
lässt sich offenbar leicht in die Neigungen um 2 bevorzugte, zu
einander senkrechte Durchmesser des Epicykels zerlegen, von
denen der eine im Visionsradius liegt, während der andere auf
ihm senkrecht steht und die grössten Elongationen hervorbringt.
Wir wollen jenen kurz den radialen, diesen den tangentialen Durch-
messer des Epicykels nennen. Diese beiden Durchmesser besitzen
offenbar eine variable Neigung gegen die Deferentenebene. So
ist aus der Figur 13 ersichtlich, dass die Neigung des radialen
Durchmessers in r und r' verschwindet, in ß und 13 dagegen
den grössten Betrag erreicht. Dagegen verschwindet die Neigung
des tangentialen Durchmessers gerade in ß und ö , während sie
in r und V den grössten Betrag erreicht. Wo die eine Neigung
verschwindet, erreicht die andere stets ihren grössten Betrag.
Bei der Tabulierung ist nun folgendermassen verfahren: In
^ hängt die Breite offenbar nur noch vom Winkel im Epicykel
«-—sc ab, lässt sich also mit diesem Winkel fabulieren. Dies ist
die fabulierte inclinatio, welche also nur für den aufsteigenden
Knoten gilt und lediglich durch die grösste Neigung des radialen
Durchmessers hervorgerufen wird. Entsprechend ist unter dem
Namen reflexio die im Apogäum r gültige Breite für alle Werte
von a—x fabuliert. Diese ist offenbar lediglich durch die grösste
Neigung des tangentialen Durchmessers hervorgerufen. Damit sind
wir bereits im Stande, für die beiden Stellungen ß und r des
Epicykelmittelpunktes die Breiten anzugeben. Dieselben Breiten
gelten aber mit umgekehrtem Vorzeichen zugleich für ?S und f",
da in der Breitentheorie der Venus die Excentricität vernachlässigt,
und also die Erde im Mittelpunkt des Deferenten angenommen
wird. Damit reduziert sich das Problem auf die Ermittelung der
Breite für eine beliebige Lage des Epicykels zwischen ß und r.
In Q, ist die fabulierte inclinatio voll anzubringen, die reflexio aber
garnicht. In r ist umgekehrt die reflexio voll anzubringen, die
- 40 —
inclinatio aber garnicht. Der Uebergang von Q> zu r vollzieht
sich nun so, dass die inclinatio von ihrem Tafelwert bis Null sinkt,
während gleichzeitig die reflexio von Null bis zu ihrem Tafel werte
anwächst. Für eine beliebige Stellung des Epicykels setzt sich
also die Breite aus einem Bruchteil der inclinatio und einem solchen
der reflexio zusammen. Zur Ermittelung dieser Bruchteile dienen
wie früher die minuta proportionalia, welche mit dem Winkel im
Deferenten entnommen werden. Doch ist ersichtlich, dass die-
jenigen für die inclinatio mit einem um 90° verschiedenen Argument
entnommen werden müssen, da die Nullstellungen für reflexio und
inclinatio um 90° im Deferenten von einander entfernt sind.
Es ist noch zu bemerken, dass die minuta proportionalia
auch in sehr einfacher Weise die ersterwähnte deviatio deferentis
ergeben. Die grösste deviatio, welche im Perigäum und Apogäum
eintritt, beträgt bei Venus 10' oder l/6{). Für alle übrigen Stellen
des Deferenten ergibt sich nur ein Bruchteil, welcher gleich
1/Q° X min. prop. ist.
Hieraus ergibt sich folgendes Schema für die Berechnung einer Venusbreite:
bekannt müssen vorliegen: y + x = centrum aequatum
a — x = argumentum aequatum.
{declinatio D und reflexio Ii.
Mit ^ + £ + 90 entnimm minuta proportionalia: pi
bilde declinatio x ^ = ( 1 )
Für das Vorzeichen von (1) gilt die Regel:
u t r ^ f r + ^ + 9 0 obere T. H. so— wenn a — x obere Tafelhalfte und
l „ untere „ +
untere / " o b e r e " + " U n t e r e " \ „ untere „
Mit y + x entnimm nochmals minuta proportionalia: p2
bilde reflexio x p 2 = (2)
Für das Vorzeichen von (2) gilt die Regel:
wenn y-\-x obere Tafelhälfte und j a x ^ s o [ „ 180 „ —
n » untere „ » I " ^ " ~~ \ n > 180 „ +
bilde endlich 1 / 6 x p 2~ ( 3 ) , stets + .
Dann wird (1) + (2) + (3) = b 2 •
— 41 —
Be i s p i e l . Gesucht die Breite der Venus für das frühere Datum.
Es liege gerechnet vor:
y - x = 95°.53
a — x = 23°.01.
Mit a — x entnehmen wir aus Tafel XVI: declinatio D —0°.98
reflexio R = 0°.52.
Mit y + x + 90 = 185.53 entnehmen wir die minuta prop.: pi = 0.99
daher (1) = -f- 0°.98 X 0.99 = + 0°.970
( + weil a — x obere, ^ - f^c + 90 untere Tafelhälfte).
Mit y-\-x entnehmen wir nochmals minuta prop.: p2 = 0.10
daher (2) = + 0°.52 X 0.10 = + 0°.052
( + weil y-\-x untere Taf. Hälfte, und a — x<^ 180).
Drittens wird (3) = + i/o X 0.10 = + 0.°017 (s te t s+)
(1) = + 0.970
(2) = + 0.052
(3) = + 0.017
b 2 = + 10.039
4. Die Breitentafel des Merkur.
Die Breitentheorie des Merkur ist nur in unwesentlichen
Punkten von derjenigen der Venus verschieden. Namentlich ist
die Stellung des Epicykels gegen den Deferenten eine andere
(Figur 14), was vor allem in den Vorzeichen zur Geltung kommt.
Ferner macht sich bei Merkur die grosse Excentricität geltend,
deren Einfluss bei der Venus vernachlässigt war. Für die reflexio,
welche bei Venus sowohl für Tals für r ' galt, ist hier infolgedessen
ein mittlerer Wert UQ tabuliert, aus welchem man je nach Bedarf
die reflexio für das Apogäum r durch Multiplikation mit
oder diejenige für das Perigäum r ' durch Multiplikation mit
erhält. Endlich wurde schon im vorigen Kapitel bemerkt, dass
die deviatio deferentis des Merkur stets südlich ist. Ihr grösster
Betrag ist 8/s°-
Die Berechnung einer Merkursbreite gestaltet sich demnach folgender-
massen.
Bekannt sind: centrum aequatum / + x und argumentum aequatum a — x.
— 42 -
, . ( dechnatio D
Mit a — x entnimm < £J . 7-> \ reflexio JR,
f 9 / i o B 0 I
\ »AoBo We n" r + 'C \ R — •! -r,
0 wenn y- t -x f Tafelhälfte.
Mit y + x +270° entnimm die minuta prop. 2h
bilde (1) = D. pt
Für das Vorzeichen von (1) gilt die Regel:
^ r tu-.fi. ^ i r + ^ + - 7 0 o b e r e T - H-> s 0 ~ wenn a — x obere Tafelhalfte und | untere +
• !
. „ obere
u n t e r e " " < „ untere
Mit y + x + ISO0 entnimm die minuta proport. p2
bilde (2) = R. p-i
Für das Vorzeichen von (2) gilt die Regel:
( a — x < ^ 180°, so +
wenn y~\~x + ISO0 obere T. H. und <j 180 —
/ „ < 180 „ -
U e >' | „ > 180 „ +
bilde endlich (3) = 3/s . ih (stets —)
Dann wird
5 = (1) h (2)+ 13)
Be i sp i e l . Gesucht die Breite des Merkur für das frühere Datum.
Bekannt sind: a — x = 263.58, y + x =339.41,
so dass y + 00 + 270 ~ 249.41 und y x + 180 — 159.41.
Mit a — x entnehmen wir: declinatio Z) = 0.16
reflexio R0 = 2.27
Vio ho = 0.23
R = 2.04
Mit y + x + entnehmen wir die minut. prop.:
pt z=z 0.35
X 0.1(5
(1) = + 0°.056
Mit ^ + . u+180 entnehmen wir nochmals die minut. prop.:
p, ^ 0.93
X 2.04
Endlich wird
(2) = + 1°.897
(3 ) = 3/8X 0.93 ~ — 0.349
(1) + (2) = + 1.953
= + 1 . 6 0 4
Verzeichnis der technischen Ausdrücke.
A c c e s s u s et r e c e s s u s s p h a e r a e s t e l l a t a e der periodische Teil der
Gesamtpraecession oder die sogen. Trepidation.
A equa r e eine Ungleichung anbringen, korrigieren.
A e qu a t i o periodische Ungleichung. — aeq. argumenti (y) stellt die Elongation
des Planeten vom Mittelpunkt seines Epicykels dar und ist mit dem
Winkel im Epicykel tabuliert. — aeq. centri (x) stellt die Ungleichung
dar, welche durch die excentrische Stellung der Erde im Deferenten
hervorgerufen wird.
A e q u a t i o d i e rum Zeitgleichung.
A rgumen tum der Winkel im Epicykel, gezählt vom Epicykelapogäum aus. —
arg. medium wird vom mittleren Epicykelapog. aus gezählt und wächst
gleichförmig. — arg. aequatum, von jenem um x verschieden, wird vom
wahren Epicykelapogäum aus gezählt.
Aux Länge des Apogäums. — a. deferentis Länge d. Deferentenapog. — a.
epicycli Epicykelapogäum. Aux schlechthin bedeutet stets das Deferenten-
apogäum. — Radix augis (w0) Länge d. Apog. zur Fundamentalepoche (Chr.).
Aux propr i a O) instantane Länge des Apogäums, von wQ um die aux com-
munis TT verschieden.
Aux c ommun i s ( - ) Gesamtpraecession von Christus bis zum Datum, be-
stehend aus säkularer Praec. und Trepidation.
Caput d r a c o n i s aufsteigender Knoten.
Cauda d r a c o n i s absteigender Knoten.
Cen trum Länge des Epicykelmittelpunktes, gezählt vom Apogäum aus. —
c. medium mittlere L. etc., wächst gleichförmig. — c. aequatum durch
Anbringung von x korrigierte wahre L. des Epicykelmittelp., gezählt
vom Apogäum aus.
Cen t rum a e quan s , auch punctum aequans oder centrum aequantis, der
Punkt M der Figuren, von dem aus die wahre Bewegung im Deferenten
gleichförmig erscheint
P e f e r e n t der Kreis auf welchem der Mittelpunkt des Epicykels um die Erde
herumgeführt wird, während sich der Planet auf der Peripherie des
Epicykels bewegt.
D e v i a t i o (deferentis ab ecliptica) derjenige Teil der Breite bei Venus und
Merkur, welcher von der Schaukelbewegung ihrer Deferentenebenen
um die Ekliptik als mittlere Lage herrührt. Bei Venus stets nördl., bei
Merkur stets südl.
— 44 —
D i v e r s i t a s a s p e c t u s Parallaxe.
D i v e r s i t a s d i am e t r i (epicycli oder circuli brevis) Differenz der für mittlere
Entfernung tabulierten aequatio argumenti gegen die beiden entspre-
chenden Werte, die für grösste (Apog.) und kleinste (Perig.) Ent-
fernung gelten. Daher: in longitudinem longiorem und in longitudinem
propiorem.
E p i c y k e l der kleinere Kreis, auf dessen Peripherie der Planet selbst herum-
geführt wird, während sein Mittelpunkt sich auf dem Deferenten um
die Erde bewegt.
I n c l i n a t i o derjenige Teil der Breite bei Venus und Merkur, welcher von der
Neigung des radialen Durchmessers des Epicykels hervorgerufen wird.
L o c u s v e r u s wahre Länge.
L o n g i t u d o l o n g i o r , diese Bezeichnung erhalten alle Grössen, die sich auf die
Apogäumshälfte des Deferenten beziehen, in welcher die Entfernungen
des Epicykelmittelpunktes von der Erde grösser sind als im Mittel.
Entsprechend bezieht sich longitudo propior auf die Perigäumshälfte.
M i n u t a p r o p o r t i o n a l i a Proportionalfaktoren, mit denen das fabulierte
Maximum gewisser Grössen zu multiplizieren ist, um die Zwischenwerte
von 0 bis zum Tafelwert zu erhalten.
M o t u s m e d i u s allgemein: mittlere Bewegung, speciell: mittlere Länge, gezählt
von y aus. — m. m. capitis draconis die Bewegung des ß , gezählt
in der Richtung dieser Bewegung, also retrogad, von T aus. Daher
gleich 360°—verus locus — m. m. augium et stellarum fixarum der
säkulare Teil der Gesamtpraecession.
Punc tum a equan s siehe centrum aequans.
Rad i x der Wert der betreffenden Grösse für die Fundamentalepoche, d. i.
Christus, daher auch radix incarnationis Christi.
R e f l e x i o derjenige Teil der Breite bei Venus und Merkur, welcher von der
Neigung des tangentialen Durchmessers des Epicykels hervorgerufen
wird.
S i g n um die nächst höhere Einheit über dem Grad im strengen sexagesimalen
System. Signa physica betragen 60°, signa communia aber nach Ana-
logie der Zeichen des Tierkreises nur 30°.
T r e p i d a t i o n die irrtümlich angenommene periodische Ungleichheit derPraeces-
sionsbewegung.
Numerische Tafeln.
- 46 —
Tafel I. Praecession.
Jahr Aux communis I Jahr
1250.0
1260
1270
1280
1290
1300
1310
1320
1330
1340
1350
1360
1370
1380
1390
1400
1410
1420
1430
1440
17°.219
17.329
17.438
17.546
17.654
17.761
17.867
17.972
18.077
18.181
18.285
18.388
18.490
18.591
18.692
18.792
18.892
18.991
19.089
19.186
110
109
108
108
107
106
105
105
104
104
108
102
101
101
100
100
99
98
97
Tafel IL
Am
sind
verflossen*)
a | b
Jahres-
Bruch
Januar 0 Od 0d 0.00
Februar „ 31 31 0.08
März „ 59 60 0.16
April 90 91 0.25
Mai „ 120 121 0.33
Juni 151 152 0.41
Juli 181 182 0.50
August „ 212 213 0.58
September „ 243 244 0.67
Oktober „ 273 274 0.75
November „ 304 305 0.83
Dezember „ 334 335 0.92
Aux communis
1450.0
1460
1470
1480
1490
1500
1510
1520
1530
1540
1550
1560
1570
1580
1590
1600
1610
1620
1630
1640
1650
190.282
96
19.378 Q_ „ 9o
19.473
9o
19.568
94
19.662
19.755 93
19.847 92
19.938 91
20.029 91
20.119 90
20.209
20.298 89
20.386 88
20.47-1 8 8
20.561 87
20.647 86
20.732 80
20.816 84
20.900 84
20.983 83
21.065 82
Tafel III.
Radices augium.
@2 710.423
5 190.659
c? 115.204
2t 153.617
5 233.395
*) a gewöhnliche, b julianische Schaltjahre.
— 47 —
Tafel IV. Mittlere Bewegungen in Jahren.
Sonne
©
Mond
D ))
Merkur Venus Mars Jupiter
4
28 7°. 280
287.427
287.574
287.721
287.868
288.015
288.162
288.309
288.456
288.603
288.749
288.896
289.043
289.190
289.337
289.484
289.631
289.778
289.925
290.072
290.219
234°. 509
8.072
141.636
275.199
48.762
182.325
315.888
89.452
223.015
356.578
130.141
263.704
37.268
1 70.831
304.394
77.957
211.521
345.084
118.647
252.210
25.773
247°.541
287.282
327.023
6.763
46.504
86.245
125.985
165.726
205.466
245.207
284.948
324.688
4.429
44.170
83.910
123.651
163.392
203.132
242.873
282.614
322.354
353°. 73
8.19
22.65
37.12
51.58
66.04
80.50
94.96
109.42
123.88
138.34
152.80
167.26
181.72
196.19
210.65
225.11
239.57
254.03
268.49
282.95
359.761
359.522
0.268
0.029
359.790
359.551
0.298
0.059
359.820
359.581
0.327
0.088
359.849
359.610
0.357
0.118
359.878
359.639
0.386
0.147
129.384
258.768
41.329
170.713
300.097
69.481
212.041
341.425
110.809
240.193
22.754
152.138
281.522
50.906
193.467
322.851
92.235
221.619
4.179
133.563
88.721
177.442
279.227
7.948
96.669
185.390
287.175
15.896
104.617
193.338
295.124
23.844
112.565
201.286
303.072
31.793
120.513
209.234
311.020
39.741
53.95
107.89
164.95
218.89
272.84
326.78
23.84
77.78
131.73
185.68
242.73
296.68
350.62
44.57
101.62
115.57
209.51
263.46
320.51
14.46
222°.00
45.65
229.29
52.94
236.59
60.24
243.88
67.53
251.18
74.83
258.47
82.12
265.77
89.42
273.06
96.71
280.36
104.01
287.66
111.30
294.95
225.03
90.06
315.70
180.73
45.76
270.79
136.43
1.46
226.49
91.52
317.16
182.19
47.22
272.25
137.89
2.92
227.95
92.97
318.62
183.65
79°. 63
307.95
176.26
44.58
272.90
141.21
9.53
237.84
106.16
334.48
202.79
71.11
299.42
167.74
36.06
264.37
132.69
1.01
229.32
97.64
325.95
191.28
22.57
214.38
45.66
236.95
68.23
260.04
91.33
282.61
113.90
305.70
136.99
328.27
159.56
351.37
182.65
13.94
205.22
37.03
228.32
302°. 95
190.20
77.44
324.68
211.93
99.1-
346.41
233.66
120.90
8.14
255.39
142.63
29.87
277.12
164.36
51.60
298.85
186.09
73.33
320.58
207.82
30.34
60.68
91.11
121.45
151.79
182.13
212.56
242.90
273.24
303.58
334.00
4.35
34.69
65.03
95.45
125.79
156.14
186.48
216.90
247.24
— 48 —
Tafel V. Mittlere Bewegungen in,Tagen, Stunden, Minuten.
Sonne Mond Merkur Venus Mars Jupiter Saturn
[± % « 5 « 2 ' V
Tage
1
2
3
4
5
0°.986
1.971
2.957
3.943
4.928
13°.176
26.353
39.529
52.706
65.882
13°.065
26.130
39.195
52.260
65.325
3°. 11
6.21
9.32
12.43
15.53
0°.62
1.23
1.85
2.47
3.08
0°.5'2
1.05
1.57
2.10
2.62
0°.08
0.17
0.25
0.33
0.42
0°.03
0.07
0.10
0.13
0.17
6
7
8
9
10
5.914
6.900
7.885
8.871
9.856
79.058
92.235
105.411
118.588
131.764
78.390
91.455
104.520
117.585
130.650
18.64
21.75
24.85
27.96
31.07
3.70
4.32
4.93
5.55
6.17
3.14
3.67
4.19
4.72
5.24
0.50
0.58
0.66
0.75
0.83
0.20
0.23
0.27
0.30
0.33
20
30
40
50
60
19.713
29.569
39.426
49.282
59.139
263.528
35.292
167.056
298.820
70.584
261.300
31.950
162.600
293.249
63.899
62.13
93.20
124.27
155.34
186.40
12.33
18.50
24.66
30.83
36.99
10.48
15.72
20.96
26.20
31.44
1.66
2.49
3.33
4.16
4.99
0.67
1.00
1.34
1.67
2.01
70
80
90
100
200
300
68.995
78.852
88.708
98.565
197.129
295.694
202.348
334.112
105.876
237.639
115.279
352.918
194.549
325.199
95.849
226.499
92.998
319.497
217.47
248.54
279.60
310.67
261.34
212.01
43.16
49.32
65.49
61.65
123.30
184.95
36.68
41.93
47.17
52.41
104.81
157.22
5.82
6.65
7.48
8.31
16.63
24.94
2.34
2.68
3.01
3.35
6.70
10.45
Std.
1
9
3
4
5
0.041
0.082
0.123
0.164
0.205
0.549
1.098
1.647
2.196
2.745
0.544
1.089
1.633
2.178
2.722
0.13
0.26
0.39
0.52
0.65
0.03
0.05
0.08
0.10
0.13
0.02
0.04
0.07
0.09
0.11
0.00
0.01
0.01
0.01
0.02
0.00
0.01
0.01
6
7
8
9
10
0.246
0.287
0.329
0.370
0.411
3.294
3.843
4.392
4.941
5.490
3.266
3.811
4.355
4.899
5.444
0.78
0.91
1.04
1.16
1.29
0.15
0.18
0.21
0.23
0 26
0.13
0.15
0.17
0.20
0.22
0.02
0 02
0.03
0.03
0.03
0.01
0.01
0.01
0.01
0.01
20 0.821 10.980 10.887 2.59 0.51 0.44 0.07 0.03
Min.
2
4
6
8
10
0.001
0.003
0.004
0.005
0.007
0.018
0.037
0.055
0.073
0.092
0.018
0.036
0.054
0.073
0.091
0.00
0.01
0.01
0.02
0.02 0.00 0.00
20
30
40
50
0.014
0.021
0.027
0.034
0.183
0.275
0.366
0.458
0.181
0.272
0.363
0.454
0.04
0.06
0.09
0.11
0.01
0.01
0.02
0.02
0.01
0.01
0.01
0.02 0.00 0.00
— 49 —
Tafel VI. Ungleichheit der Sonne (aequatio solis).
Aequatio
solis
Aequatio
solis
Aequatio
solis
1 — 0°.036 + 359 46 — 10.513 + 314 91 — 2.166 + 269 136
2 0.072 358 47 1.540 313 92 2.167 268 137
3 0.108 357 48 1.566 312 93 2.167 267 138
4 0.143 356 49 1.592 311 94 2.167 266 139
5 0.179 355 50 1.617 310 95 2.166 265 140
6 — 0.215 + 354 51 — 1.642 —|— 309 96 — 2.164 + 264 141
7 0.251 353 52 1.666 308 97 2.160 263 142
8 0.286 352 53 1.691 307 98 2.156 262 143
9 0.322 351 54 1.715 306 99 2.151 261 144
10 0.358 350 55 1.737 305 100 2.146 260 145
11 — 0.393 + 349 56 — 1.759 + 304 101 — 2.140 + 259 146
12 0.429 348 57 1.781 303 102 2.135 258 147
13 0.465 347 58 1.803 302 103 2.128 257 148
14 0.500 346 59 1.824 301 104 2.121 256 149
1 5 0.536 345 60 1.846 300 105 2.113 255 150
16 — 0.571 + 344 61 — 1.864 + 299 106 — 2.105 + 254 151
17 0.606 343 62 1.882 298 107 2.097 253 152
18 0.642 342 63 1.902 297 108 2.088 252 153
19 0.677 341 64 1.917 296 109 2.078 251 154
20 0.712 340 65 1.936 295 HO 2.068 250 155
21 — 0.747 + 339 66 — 1.953 + 294 111 — 2.057 + 249 156
22 0.782 338 67 1.967 293 112 2.044 248 157
23 0.816 337 68 1.981 292 113 2.029 247 158
24 0.851 336 69 1.995 291 114 2.014 246 159
25 0.884 335 70 2.007 290 115 1.998 245 160
26 — 0.917 + 334 71 — 2.021 + 289 116 — 1.982 + 244 161
27 0.950 333 72 2.034 288 117 1.966 243 162
28 0.983 332 73 2.045 287 118 1.949 242 163
29 1.016 331 74 2.056 286 119 1.933 241 164
30 1.048 330 75 2.066 285 120 1.916 240 165
31 — 1.079 + 329 76 — 2.077 + 284 121 — 1.896 + 239 166
32 1.110 328 77 2.088 283 122 1.876 238 167
33 1.141 327 78 2.097 282 123 4.857 237 168
34 1.172 326 79 2.105 281 124 1.837 236 169
35 1.203 325 80 2.113 280 125 1.816 235 170
36 — 1.232 + 324 81 — 2.120 + 279 126 — 1.796 + 234 171
37 1.261 323 82 2.127 278 127 1.772 233 172
38 1.290 322 83 2.134 277 128 1.748 232 173
39 1.318 321 84 2.141 276 129 1.724 231 174
40 1.347 320 85 2.146 275 130 1.699 230 175
41 — 1.375 + 319 86 — 2.150 + 274 131 — 1.674 + 229 176
42 1.403 318 87 2.155 273 132 1.649 228 177
43 1.431 317 88 2.159 272 133 1.624 227 178
44 1.458* 316 89 2.163 271 134 1.598 226 179
45 —1.486 + 315 90 — 2.166 + 270 135 — 1.572 + 225 180
Aequatio
solis
1.546 +
1.520
1.493
1.464
1.434
• 1.404 +
1.374
1.344
1.314
1.283
- 1.252 +
1.221
1.187
1.153
1.119
-1.084 +
1.048
1.013
0.978 +
0.943
- 0.907 +
0.871
0.836
0.800
0.765
-0.729 +
0.693
0.657
0.621
0.585
- 0.548 +
0.510
0.472
0.434
0.395
-0.356 +
0.317
0.278
0.239
0.199
-0.160 +
0.120
0.080
0.040
- 0.000 +
224
223
222
221
220
219
218
217
216
215
214
213
212
211
210
209
208
207
206
205
204
203
202
201
200
199
198
197
196
195
194
193
192
191
190
189
188
187
186
185
184
183
182
181
180
— 50 —
Tafel VII. Ungleichheiten des Mondes.
Aequatio
centri
X
Min.
prop.
Di-
vers,
dia-
met.
Aequatio
argumenti
Vo
Aequatio
centri
X
1
Min.
prop.
Di-
vers,
dia-
met.
Aequatio
argumenti
2/o
1 + 0°.150 — 0.000 0°.050 — 0°.080 + 359 46 + 6°.700 — 0.117 1°.700 — 3°.340 +
2 0.300 0.083 0.159 358 47 6.833 0.133 1.733 3.399
3 0.450 0.117 0.238* 357 48 6.967 0.133 1.750 3.458
4 0.600 0.167 0.317 356 49 7.117 0.133 1.783 3.516
5 0.750 0.200 0.395 355 50 7.250 0.150 1.800 3.573
6 —[- 0.883 — 0.000 0.233 — 0.475 + 354 51 + 7.383 — 0.150 1.817 — 3.628 +
7 1.033 0.283 0.553 353 52 7.533 0.150 1.850 3.683
8 1.183 0.317 0.632 352 53 7.667 0.167 1.883 3.736
9 1.333 0.350 0.710 351 54 7.800 0.167 1.900 3.789
10 1.483 0.400 0.788 350 55 7.933 0.167 1.933 3.840
11 + 1.633 — 0.000 0.433 — 0.867 + 349 56 + 8.067 — 0.183 1.967 — 3.891 +
12 1.767 0.017 0.467 0.944 348 57 8.200 0.183 1.983 ! 3.941
13 1.917 0.017 0.517 1.023 347 58 8.333 0.183 2.017 3.990
14 2.067 0.017 0.550 1.099 346 59 8.467 0.200 2.033 4.038
15 2.217 0.017 0.583 1.178 345 60 8.600 0.200 2.050 4.084
Iß + 2.367 — 0.017 0.633 — 1.254 + 344 61 + 8.733 — 0.217 2.083 — 4.130 +
17 2.517 0.017 0.667 1.331 343 62 8.867 0.217 2.100 4.174
18 2.650 0.017 0.700 1.407 342 63 8.983 0.233 2.117 4.218
19 2.800 0.017 0.750 1.483 341 64 9.117 0.233 2.150 4.260
20 2.950 0.033 0-783 1.559 340 65 9.250 0.250 2.167 4.301
21 + 3.083 — 0.033 0.817 — 1.634 + 339 66 + 9.367*— 0.250 2.200 — 4.340 +
22 3.233 0.033 0.867 1.709 338 67 9.500 0.250 2.217 4,380
23 3.383 0.033 0.900 1.783 337 68 9.617 0.267 2.233 4.418
24 3.517 0.033 0.950 1.856 336 69 9.733 0.267 2.250 4.453
25 3.667 0.033 0.983 1.931 335 70 9.867 0.283 2.267 4.488
26 + 3.817 — 0.033 1.017 — 2.004 + 334 71 + 9.983 — 0.283 2.283 - 4.523 +
27 3.950 0.050 1.050 i 2.077 333 72 10.100 0.300 2.300 4.555
28 4.100 0.050 1.100 ! 2.149 332 73 10.217 0.300 2.317 4.586
29 4.250 0.050 1.133 ! 2.221 331 74 10.333 0.317 2.333 4.616
30 4.383 0.050 1.167 2.291 330 75 10.450 0.317 2.350 4.645
31 + 4.533 - 0.050 1.200 — 2.362 + 329 76 + 10.567 — 0.333 2.367 — 4.673 +
32 4.683 0.050 1.233 2.432 328 77 10.683 0.333 2.383 4.699
33 4.817 0.067 1.267 2.501 327 78 10.800 0.350 2.400 4.725
34 4.967 0.067 1.317 2.570 326 79 10.917 0.350 2.417 4.748
35 5.117 0.067 1.350 2.638 325 80 11.033 0.367 2.433 4.771
36 + 5.250 — 0.067 1.383 — 2.706 + 324 81 + 11.133 — 0.367 2.450 — 4.790 +
37 5.400 0.083 1.417 2.773 323 82 11.250 0.367 2.467 4.810
38 5.550 0.083 1.450 2.838 322 83 11.350 0.383 2.483 4.828
39 5.683 0.083 1.483 2.904 321 84 11.450 0.383 2.500 4.844
40 5.833 0.083 1.517 2.969 320 85 11.550 0.400 2.517 4.861
41 + 5.983 — 0.100 1.550 — 3.033 + 319 86 + 11.650 — 0.400 2.533 — 4.875 +
42 6.117 0.100 | 1.583 i 3.096 318 87 11.733 0.417 2.550 4.886
43 6.267 0.100 ! 1.617 3.159 317 88 11.833 0.417 2.567 4.897
44 6.417 0.117 I 1.650 3.221 316 89 11.917 0.433 2.583 4.907
45 + 6.550 — 0.117 | 1.667 — 3.281 + 315 90 + 12.000 — 0.433 2.600 — 4.915 +
$
— 51 —
Tafel VII. Fortsetzung.
Aequatio
centri
X
Min.
prop.
Di-
vers,
dia-
met.
Aequatio
argumenti
yo
Aequatio
centri
X
Min.
prop.
Di-
vers,
dia-
met.
Aequatio
argumenti
2/o
91 + 120.083 — 0.450 2°.617 — 4°.922 + 269 136 + 11°.767 — 0.833 2°. 150 — 3°.643 + 224
92 12.167 0.450 2.617 4.927 268 137 11.633 0.833 2.117 3.582 223
98 12.250 0.467 2.633 4.931 267 138 11.483 0.850 2.083 3.518 222
94 12.333 j 0.467 2.633 4.932 266 139 11.333 0.850 2.050 3.453 221
95 12.400 | 0.483 2.633 4.933* 265 140 11.183 0.867 2.017 3.386 220
96 + 12.467 — 0.500 2.633 ! — 4.933 + 264 141 + 11.033 — 0.867 1.967 — 3.319 + 219
97 12.533 0.500 2.633 4.929 263 142 10.883 0.883 1.933 3.251 218
98 12.600 ! 0.517 2.650 4.9*24 262 143 10.717 0.883 1.900 3.181 217
99 12.650 s 0.517 2.650 4.918 261 144 10.550 0.883 1.850 3.110 216
ioo 12.700 0.533 2.650 4.911 260 145 10.367 0.900 1.817 3.037 215
101 -f 12.750 — 0.533 2.650 — 4.903 + 259 146 _]_ 10.183 — 0.900 1.767 — 2.964 + 214
102 12.800 0.550 2.650 4.894 258 147 10.000 0.900 1.717 2.889 213
103 12.850 0.550 2.667 4.883 257 148 9.800 0.917 1.683 2.814 212
104 12.900 0.567 2.667 4.871 256 149 9.583 0.917 1.633 2.737 .211
105 12.933 0.583 2.667 4.856 255 150 9.367 0.917 1.583 2.660 210
106 + 12.967 — 0.583 2.667 [ — 4.839 + 254 151 + 9.133 — 0.933 1.533 — 2.581 + 209
107 13.000 0.600 | 2.667 j 4.822 253 152 8.883 0.933 1.483 2.502 208
los 13.033 0.600 ! 2.667 | 4.803 252 153 8.633 0.933 1.433 2.421 207
109 13.067 0.617 2.667 4.782 251 154 8.367 0.933 1.400 2.339 206
Ho 13.083 0.617 ! 2.650 4.759 250 155 8.083 0.950 1.350 2.257 205
Ul + 13.100 — 0.633 ! 2.650 — 4.735 + 249 156 + 7.800 — 0.950 1.300 — 2.174 + 204
U2 13.117 0.633 2.633 4.709 248 157 7.517 0.950 1.267 2.089 203
113 13.133 0.650 2.633 4.683 247 158 7.233 0.950 1.217 1 2.005 202
U4 13.150 0.650 2.617 4.654 246 159 6.933 0.950 1.167 1.919 201
115 13.150 0.667 2.600 4.625 245 160 6.650 0.967 1.133 1.833 200
116 + 13.133 — 0.667 2.583 — 4.593 + 244 161 + 6.350 — 0.967 1.083 — 1 . i 45 + 199
117 13.117 0.683 2.567 4.561 243 162 6.050 0.967 1.033 1.657 198
U8 13.100 0.683 2.550 4.526 242 163 5.750 0.967 0.983 1.569 197
119 13.083 0.700 2.533 4.489 241 164 5.450 0.967 0.933 1.481 196
120 13.067 0.717 2.517 4.450 240 165 5.133 0.983 0.867 1.390 195
121 + 13.050 — 0.717 2.500 -4 . 411 + 239 166 + 4.817 — 0.983 0.817 — 1.300 + 194
] ÖO 13.017 0.733 2.483 4.370 238 167 4.500 0.983 0.767 1.212 193
123 12.983 0.733 2.450 4.328 237 168 4.183 0.983 0.700 1.119 192
124 12.933 0.750 2.433 4.283 236 169 3.867 0.983 0.650 1.027 191
125 12.883 0.750 2.417 4.237 235 170 3.533 0.983 0.600 0.934 190
126 + 12.833 — 0.750 2.383 — 4.189 + 234 171 + 3.200 — 0.983 0.533 — 0.842 + 189
127 12.767 0.767 2.367 4.141 233 172 2.867 1.000* 0.483 0.749 188
12H 12.683 0.767 2.350 4.092 232 173 2.533 1.000* ' 0.417 0.656 187
12.600 0.783 2.317 4.041 231 174 2.183 1.000 0.350 0.396 186
13(1 12.500 0.783 2.300 3.989 230 175 1.833 1.000 0.300 0.470 185
131 + 12.383 — 0.783 2.283 — 3.934 + 229 176 + 1.483 — 1.000 0.250 — 0.376 + 184
1:-VJ 12.267 0.800 2.250 3.880 228 177 1.117 1.000 0.183 0.283 183
13Ü 12.150 0.800 2.233 3.823 227 178 0.750 1.000 0.133 0.194 182
134 12.033 0.817 2.200 3.764 226 179 0.383 1.000 0.067 0.094 181
13c • + 11.900 — 0.817 2.167 — 3.705 + 225 180 + 0.000 - . 1.000 0.000 — 0.000 + 180
— 52 —
Tafel VIII. Ungleichheiten des Merkur.
Aequatio
centri
X
Min.
prop.
Divers,
diam.
1 p.
Aequatio
argumenti
yo
Aequatio
centri
X
Min.
prop.
Divers,
diamet.
1. p.
Aequatio
argumenti
Vo
1 — 00.05 + 1.001 0°.03 0°.02 + 0°.28 — 359 46 — 10.95 + 0.42 l 1°.25 0°.73 +12°.08—
2 0.10 1.00 0.07 0.03 0.55 £58 47 1.98 0.40 1.27 0.75 12.32
3 0.15 1.00 0.08 0.05 0.82 357 48 2.02 0.38 1.30 0.77 12.57
4 0.20 0.98 0.12 0.07 1.08 356 49 2.07 0.35 1.33 0.78 12.80
5 0.25 0.98 0.15 0.07 1.37 355 50 2.10 0-33 1.37 0.80 13.03
6 — 0.28 + 0.981 0.17 0.08 + 1.63 — 354 51 — 2.13 + 0.32 l 1.38 0.80 + 13.27 —
7 0.33 0.97 0.20 0.10 1.92 353 52 2.17 0.28 1.42 0.82 13.50*
8 0.38 0.97 0.23 0.12 2.18 352 53 2.22 0.27 1.45 0.83 13.73
9 0.42 0.97 0.25 0.13 2.45 351 54 2.23 0.25 1.47 0.8a 13.90
10 0.47 0.95 0.28 0.15 2.73 350 55 2.27 0.22 1.50 0.87 14.20
11 — 0.50 + 0.951 0.32 0.17 + 3.00 — 349 56 — 2.30 + 0.20 l 1.53 0.88 + 14.43 —
12 0.55 0.95 0.33 0.18 3.27 348 57 2.32 0.18 1.57 0.90 14.65*
13 0.58 0.93 0.37 0.20 3.53 347 58 2.35 0.15 1.60 0.90 14.87
14 0.63 0.93 0.38 0.22 3.80 346 59 2.38 0.13 1.63 0.92 15.08
15 0.67 0.92 0.40 0.23 4.08 315 60 2.42 0.12 1.65 0.93 15.30
16 — 0.72 + 0.921 0.43 0.25 + 4.35 — 344 61 — 2.45 + 0.08 l 1.68 0.95 + 15.52 —
17 0.75 0.90 0.47 0.27 4.62 343 62 2.48 0.07 1.72 0.97 15.73
18 0.80 0.90 0.48 0.28 4.88 342 63 2.52 0.03 1.73 1.00 15.93
19 0.83 0.88 0.52 0.30 5.15 341 64 2.55 0.02 l 1.77 1.02 16.15
20 0.88 0.88 0.55 0.32 5.42 340 65 2.57 0.02 *p 1.80 1.03 16.35
21 — 0.92 + 0.871 0.57 0.33 + 5.68 — 339 66 — 2.60 + 0.03 p 1.82 1.07 + 16.55 —
22 0.97 0.85 0.60 0.35 5.95 338 67 2.63 0.07 1.85 1.08 16.75
23 1.00 0.85 0.63 0.37 6.22 337 68 2.67 0.10 1.88 1.10 16.95
24 1.03 0.83 0.65 0.38 6.48 336 69 2.68 0.13 1.90 1.12 17.15
25 1.08 0.82 0.68 0.40 6.75 335 70 2.72 0.17 1.93 1.13 17.35
26 — 1.13 + 0.80/ 0.72 0.40 + 7.02 — 334 71 — 2.73 + 0.20 P 1.97 1.15 + 17.53 —
27 1.17 0.78 0.73 0.42 7.28 333 72 2.75 0.23 1.98 1.18 17.72
28 1.22 0.77 0.77 0.43 7.55 332 73 2.78 0.27 2.02 1.20 17*90
29 1.25 0.75 0.80 0.45 7.82 331 74 2.80 0.30 2.05 1.22 18.08
30 1.28 0.73 0.82 0.47 8.07 330 75 2.82 0.33 2.07 1.23 18.27
31 — 1.33 + 0.721 0.85 0.48 + 8.33 — 329 76 — 2.83 + 0.37 P 2.10 1.25 + 18.45 —
32 1.38 0.70 0.88 0.50 8.58 328 77 2.85 0.40 2.13 1.27 18.62
33 1.42 0.68 0.90 0.52 8.83 327 78 2.87 0.42 2.15 1.28 18.78
34 1.47 0.67 0.93 0.53 9.10 326 79 2.88 0.45 2.18 1.30 18.95
35 1.50 0.65 0.97 0.55 9.35 325 80 2.90 0.48 2.22 1.32 19.12
36 — 1.55 + 0.631 0.98 0.57 + 9.60 — 324 81 — 2.92 + 0.50 P 2.23 i . 3 3 + 19.27 —
37 1.60 0.60 1.02 0.58 9.85 323 82 2.93 0.53 2.25 1.35 19.42
38 1.63 0.58 1.03 0.60 10.10 322 83 2.95 0.57 2.30 1.37 19.57
39 1.67 0.57 1.07 0.62 10.35 321 84 2.97 0.58 2.32 1.38 19.73
40 1.72 0.55 1.08 0.63 10.60 320 85 2.97 0.62 2.35 1.40 19.88
41 — 1.75 + 0.53 l 1.12 0.65 + 10.85 — 319 86 — 2.98 + 0.63 P 2.38 1.42 + 20.03 —
42 1.78 0.52 1.13 0.67 11.10 318 87 2.98 0.67 2.40 1.43 20.17
43 1.83 0.48 1.17 0.68 11.35 317 88 3.00 0.68 2.43 1.45 20.30
44 1.87 0.47 1.20 0.70 11.60 316 89 3.00 0.72 2.47 1.47 20.42
45 — 1.90 + 0.45 l 1.22 0.72 + f11.83 — 315 90 — 3.02 + 0.73 p 2 48 1.48 + 20.55 —
— 53 —
Tafel VIII. Fortsetzung.
v*.
Aequatio
centri
X
Min»
prop.
Divers,
diam.
l. p.
Aequatio
argumenti
yo
Aequatio
centri
x 1
Min.
prop.
Divers,
diam.
l p.
Aequatio
argumenti
Vo
»1 — B°.0 2 + 0.77 p 2°.52 1°.50 + 20°. 67 — 269 136 — 20.15 + 0.93p: 3°. 13 2°.02 + 190.62— 224
9o 3.0 2 0.78 2.55 1.52 20.78 268 137 2.12 0.92 3.12 2.00 19.40 223
93 3.03 0.80 2.57 1.53 20.90 267 138 2.07 0.92 3.10 2.00 19.17 222
H 3.03 0.82 2.60 1.55 21.02 266 139 2.03 0.90 3.08 2.00 18.92 221
95 3.03 0.83 2.63 1.57 21.12 265 140 2.00 0.90 3.07 2.00 18.67 220
96 — 3.03 + 0.83 p 2.65 1.58 + 21.22 — 264 141 — 1.95 + 0.88p 3.03 2.00 + 18.40 — 219
97 3.03 0.85 2.68 1.60 21.32 263 142 1.92 0.88 3.02 1.98 18.12 218
98 3.02 0.87 2.72 1.62 21.40 262 143 1.87 0.87 2.98 1.98 17.83 217
99 3.02 0.88 2.73 1.63 21.48 261 144 1.82 0.87 2.95 1.97 17.53 216
l0o 3.02 0.90 2.77 1.65 21.57 260 145 1.78 0.85 2.92 1.95 17.23 215
loi — 3.00 + 0.92 p 2.80 1.67 + 21.63 — 259 146 — 1.73 + 0.85 p 2.88 1.92 + 16.92 — 214
lOo 3.00* 0.93 2.82 1.68 21.70 258 147 1.68 0.83 2.85 1.88 16.58 213
lOs 2.98 0.93 2.83 1.70 21.77 257 148 1.63 0.82 2.80 1.85 16.23 212
104- 2.98 0.95 2.87 1.72 21.82 256 149 1.58 0.82 2.75 1.82 15.88 211
l05 2.97 0.95 2.88 1.73 21.87 255 150 1.53 0.80 2.70 1.78 15.52 210
106 — 2.97 + 0.97 p 2.92 1.75 + 21.92 -- 254 151 — 1.50 + 0.80p 2.65 1.75 + 15.13*— 209
107 2.95 0.97 2.95 1.77 21.95 253 152 1.45 0.78 2.60 1.72 14.73 208
108 2.93 0.97 2.97 1.78 21.98 252 153 1.40 0.78 2.53 1.68 14.33 207
109 2.92 0.98 3.00 1.80 22.00 251 154 1.35 0.77 2.48 1.65 13.92 206
H o 2.90 0.98 3.02 1.82 22.02 250 155 1.30 0.77 2.42 1.62 13.48 205
Hl — 2.88 + 0.98p 3.03*1.83 + 22.03 — 249 156 — 1.25 + 0.75 p 2.35 1.57 + 13.05 — 204
Uä 2.87 0.98 3.05*1.85 22.03 248 157 1.20 0.75 2.28 1.53 12.60 203
2.85 1.00 3.05 1.87 22.02 247 158 1.15 0.73 2.22 1.48 12.15 202
i u 2.83 1.00 3.07 1.88 22.00 246 159 1.10 0.73 2.15 1.43 11.68 201
Uo 2.82 1.00 3.07 1.90 21.98 245 160 1.05 0.72 2.08 1.38 ; 11.20 200
Hb — 2.80 + 1.00 p 3.08 1.92 + 21.97 — 244 161 — 1.00 + 0.72 p 2.00 1.33 ! + 10.72 — 199
]17 2.77 1.00 3.10 1.92 21.93 243 162 0.95 0.72 1.92 1.28 i 10.22 198
118 2.75 1.00 3.10 1.93 21.88 242 163 0.90 0.70 1.83 1.23 9.72 197
119 2.72 1.00 3.12 1.95 21.83 241 164 0.85 0.70 1.73 1.18 1 9.20 196
120 2.68 1.00 3.13 1.95 21.78 240 165 0.80 0.70 1.63 1.12 1 8.67 195
121 — 2.65 + 1.00 p 3.13 1.97 + 21.72 — 239 166 — 0.75 + 0.70p 1.53 1.07 + 8.12 — 194
loo 2.62 1.00 3.15 1.97 21.63 238 167 0.70 0.68 1.43 1.00 7.57 193
123 2.58 1.00 3.15 1.97 21.55 237 168 0.65 0.68 1.32 0.93 ! 7.02 192
124 2.57 0.98 3.15 1.98 21.45 236 169 0.58 0-68 1.22 0.87 6.45 191
125 2.53 0.98 3.17 1.98 21.35 235 170 0.53 0.68 1.12 0.78 5.88 190
126 — 2.50 + 0.98/3 » 3.17 1.98 + 21.25 — 234 171 — 0.47 + 0.68 p » 1.02 0.72 + 5.32 — 189
127 2.47 0.98 3.18 2.00 21.13 233 172 0.42 0.68 0.92 0.63 4.73 188
128 2.43 0.97 3.18 2.00 21.02 232 173 0.37 0.67 0.80 0.55 | 4.17 187
129 2.40 0.97 3.20 2.00 20.88 231 174 0.32 0.67 0.70 0.47 3.58 186
1^0 2.37 0.97 3.20 2.00 20.73 230 175 0.27 0.67 0.58 0.40 3.00 185
1B! — 2.33 + 0.951 ) 3.20 2.02 + 20.58 — 229 176 ; —0.22* + 0.67 % > 0.47 0.32 ! + 2.40 — 184
132 2.30 0.95 3.18 2.02 20.42 228 177 0.15 0.67 0.35 0.23 1.80 183
133 2.27 0.95 3.18 2.02 20.23 227 178 ; 0.10 0.67 0.23 0.17 1.20 182
|34 2.23 0.93 3.17 2.02 20.03 226 176 1 0.05 0.67 0.12 0.08 0.60 181
135 — 2.18 + 0.93| ) 3.15 2.02 | + 19.83 — 225 18C ) —0.00 + 0.67i: > 0.00 O.0O 1 + 0.00 — 180
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
Tafel IX. Ungleichheiten der Venus.
Divers,
diam.
/. p.
Aequatio
argumenti
Aequatio
centri
X
359 46 —1°.52 +
358 47 1.53
357 48 1.57
356 49 1.60
355 50 1.62
354 51 — 1.65 +
353 52 1.67
352 53 1.70
351 54 1.72
350 55 1.73
849 56 - 1.77 +
348 57 1.78
347 58 1.80
846 59 1.83
345 60 1.85
344 61 — 1.87 +
343 62 1.88
342 63 1.90
341 64 1.92
340 65 1.93
339 66 — 1.95 +
338 67 1.97
337 68 1.98
336 69 2.00
335 70 2.02
334 71 — 2.02 +
333 72 2.03
332 73 2.05
331 74 2.05
330 75 2.07
329 76 — 2.08 +
328 77 2.08
327 78 2.10
326 79 2.10
325 80 2.12
324 81 — 2.12 +
828 82 2.13
322 83 2.13
321 84 2.15
320 85 2.15
819 86 — 2.15 +
318 87 2.17
317 88 2.17
316 89 2.17
315 90 - 2 . 1 7 +
Min.
prop.
-00.03 +
0.05
0.10
0.15
0.18
- 0.22 +
0.25
0.28
0.32
0.35
- 0.40 +
0.43
0.47
0.50
0.53
- 0.57 +
0.60
0.63
0.68
0.72
- 0.75 +
0.78
0.82
0.85
0.88
- 0.92 +
0.95
0.98
1.02
1.05
- 1.08 f
1.12
1.15
1.17
1.20
- 1.23 +
1.27
1.28
1.32
1.85
- 1.37 +
1.40
1.48
1.45
- 1.48 +
1.00/ 0°. 00* 0.00
1.00 0.02* 0.02
1.00 0.02 0.02
1.00 0.02 0.02
1.00 0.02 0.03
1.00/ 0.02 0.03
1.00 0.02 0.08
0.98 0.02 0.05
0.98 0.03 0.05
0.98 0.03 0.05
0.981 0.03 0.07
0.98 0.05 0.07
0.97 0.05 0.07
0.97 0.05 0.08
0.97 0.07 0.08
0.95/ 0.07 0.08
0.95 0.08 0.10
0.95 0.08 0.10
0.93 0.08 0.10
0.93 0.10 0.12
0.93/ 0.10 0.12
0.92 0.10 0.12
0.92 0.12 0.18
0.92 0.12 0.13
0.90 0.12 0.13
0.90/ 0.13 0.15
0.88 0.13 0.15
0.88 0.13 0.15
0.87 0.15 0.17
0.87 0.15 0.17
0.85/ 0.15 0.17
0.85 0.17 0.18
0.83 0.17 0-18
0.83 0.17 0.18
0.82 0.18 0.18
0.82/ 0.18 0.20
0.80 0.18 0.20
0.80 0.20 0.20
0.78 0.20 0.20
0.78 0.20 0.22
0.77/ 0.22 0.22
0.75 0.22 0.22
0.75 0.22 0.22
0.73 0.23 0.23
0.72 0.28 0.23]
+ 0.43 -
0.85
I.27
1.68
2.10
+ 2.52 -
2.93
3.35
3.77
4.18
+ 4.60 -
5.02
5.43
5.85
6.27
+ 6.68 -
7.10
7.52
7.93
8.35
+ 8.77 -
9.18
9.60
10.02
10.43
+ 10.85 -
II.27
11.68
12.10
12.50
+ 12.92 -
13.38
13.78
14.15
14.57
+ 14.97 -
15.88
15.80
16.20
16.62
+ 17.02 -
17.42
17.83
18.23
+• 18.63 -
0.70?
0.70
0.68
0.67
0.67
0.65/
0.63
0.62
0.60
0.58
0.57/
0.55
0.53
0.52
0.50
0.48/
0.47
0.45
0.43
0.42
0.40/
0.38
0.37
0.35
0.83
0.32/
0.30
0.27
0.25
0.28
0.22/
0.20
0.18
0.17
0.15
0.18/
0.12
0.10
0 . 08
| 0.07
j 0.051
1 0.03
0.02/
j 0.00*
j 0 . 0 2 p
0°.23 0°.23
0.25 0.25
0.25 0.25
0.25 0.25
0.27 0.27
0.27 0.27
0.27 0.27
0.28 0.28
0.28 0.28
0.28 0.28
0.30 0.30
0.30 0.30
0.30 0.30
0.32 0.32
0.32 0.32
0.32 0.32
0.33 0.33
0.33 0.33
0.33 0.35
0.35 0.35
0.35 0.37
0.37 0.37
0.37 0.38
0.38 0.38
0.38 0.40
0.40 0.40
0.40 0.42
0.42 0.42
0.42 0.43
0.42 0.45
0.43 0.45
0.43 0.47
0.43 0.47
0.45 0.48
0.45 0.48
0.47 0.50
0.47 0.50
0.48 0.52
0.50 0.52
0.50 0.53
0.52 0.53
0.53 0.55
0.53 0.55
0.55 0.57
0.55 0.57
55
Tafel IX. Fortsetzung.
Aequatio Min.
prop.
Divers. Aequatio Aequatio Min.
prop.
Divers. Aequatio
centri
X
diam.
1. p.
argumenti
2/o
centri
X
diam.
1. p.
argumenti
Vo
»1 — 2°.17 + 0.05 p 0°.57 0°.58 + 3 6°. 07 — 269 136 — 10.55 + 0.75 p 1°.18 1°.27 + 450.98 — 224
99 2.17 0.07 0.58 0.60 36.40 268 137 1.52 0.77 1.20 1.28 | 45.97 223
9.3 2.17 0.08 0.58 0.62 36.73 267 138 1.50 0.78 1.23 1.32 45.95 222
H 2.17 0.10 0.60 0.62 37.07 266 139 1.47 0.78 1.25 1.33 j 45.92 221
% 2.17 0.12 0.60 0.63 37.38 265 140 1.43 0.80 1.28 1.35 45.85 220
»6 — 2.17 + 0.13p 0.62 0.63 + 37.72 — 264 141 — 1.40 + 0.80p 1.32 1.38 + 45.77 — 219
97 2.17 0.15 0.62 0.65 38.03 263 142 1.38 0.82 1.35 1.40 45.65 218
98 2.17 0.17 0.63 0.67 38.35 262 143 1.35 0.82 1.38 1.42 45.52 217
99 2.15 0.18 0.63 0.67 38.67 261 144 1.32 0.83 1.40 1.45 45.35 216 % 2.15 0.20 0.65 0.68 38.98 260 145 1.28 0.83 1.43 1.47 45.15 215
loi — 2.15 + 0.22 p
0.23
0.65 0.70 + 39.28 — 259 146 - 1.25 + 0.85 p 1.47 1.50 + 44.92 — 214
lOo 2.13 0.67 0.72 39.58 258 147 1.22 0.85 1.48 1.53 44.65 213
•03 2.13 0.25 0.68 0.72 39.88 257 148 1.18* 0.87 1.52 1.57 44.35 212
>04 2.12 0.27 0.68 0.73 40.18 256 149 1.15* 0.87 1.53 1.60 44.02 211
106 2.12 0.28 0.70 0.75 40.48 255 150 1.12 0.88 1.55 1.63 43.65 210
]0ß — 2.10 + 0.30 p 0.70 0.77 + 40.77 — 254 151 — 1.08 + 0.88p 1.58 1.67 1 + 43.25 — 209
I07 2.10 0.32 0.72 0.78 41.05 253 152 1.05 0.90 1.60 1.70 42.80 208
'08 2. OH 0.33 0.73 0.78 41.33 252 153 1.02 0.90 1.62 1.73 ! 42.30 207
l09 2.08 0.35 0.75 0.80 41.62 251 154 0.98 0.92 1.63 1.77 | 41.75 206
Uo 2.07 0.37 0.77 0.82 41.88 250 155 0.95 0.92 1.65 1.78 41.13 205
!u ~ 2.07 + 0.38 p 0.78 0.83 + 42.15 — 249 156 — 0.92 + 0.93 23 1.65 1.801 + 40.47 — 204
lä 2.05 0.40 0.80 0.85 42.40 248 157 0.87 0.93 1.67 1.82 39.77 203
'IS 2.03 0.42 0.82 0.87 42.65 247 158 0.83 0.93 1.67 1.83 38.97 202
'U 2.02 0.43 0.83 0.87 42.88 246 159 0.80 0.95 1.68 1.85 38.12 201
Ho 2.00 0.45 0.85 0.88 43.12 245 160 0.77 0.95 1.68 1.85 37.20 200
jl« — 1.98 + 0.47 p 0.85 0.90 + 43.35 — 244 161 — 0.73 + 0.95 p 1.70 1.87 + 36.20 — 199
17 1.97 0.48 i 0.87 0.92 43.58 243 162 0.70 0.95 1.70 1.87 35.12 198
18 1.95 0.50 | 0.88 0.93 43.80 242 163 0.67 0.97 1.68 1.87 33.95 197
19 1.93 0.52 0.90 0.93 44.02 241 164 0.62 0.97 1.67 1.85 32.73 196
2o 1.92 0.52 0.90 0.95 44.22 240 165 0.58 0.97 1.63 1.83 31.40 195
!äl — 1.90 + 0.53 v\ 0.92 0.97 + 44.42 — 239 166 — 0.55 + 0.97 p 1.60 1.80 + 29.97 — 194 'Ü2 1.88 0.55 0.93 0.98 44.60 238 167 0.52 0.97 1.57 1.77 28.42 193
|Ü3 1.87 0.57 0.95 1.00 44.78 237 168 0.47 0.98 1.52 1.72 26.77 192
ä4 1.83 0.58 0.97 1.02 44.95 230 169 0.43 0.98 1.47 1.63 25.03 191
1.82* 0.60 0.98 1.03 45.10 235 170 0.40 0.98 1.40 1.55 23.20 190
's* — 1.80* + 0.62 p > 1.00 1.05 + 45.23 — 234 171 — 0.35 + 0.98 p 1.32 1.45 + 21.25 — 189
1.77 0.63 1.02 1.08 45.35 233 172 0.32 0.98 1.20 1.35 19.18 188
ÜB 1.75 0.65 1.03 1.10 45.45 232 173 0.28 0.98 1.07 1.23 17.03 187
'-J9 1.73 0.67 1.05 1.13 45.55 231 174 0.23 1.00 0.95 1.10 14.78 186
iHo 1.70 0.67 1.07 1.15 45.65 230 175 0.20 1.00 0.80 0.95 12.43 185
j*l — 1 .(>8 + 0.68 y i 1.08 1.17 + 45.75 — 229 176 — 0.17 + 1.00 p > 0.67 0.77 + 10.07 — 184
1.65 0.70 1.10 1.18 45.83 228 177 0.12 1.00 0.52 0.58 7.63 183
1.63 0.72 1.12 1.20 45.90 227 178 0.08 1.00 0.35 0.40 5.15 182
\h 1.60
1.57 +
0.73 i 1.15 1.22 45.95 226 179 0.05 1.00 0.18 0.20 2.60 181
^5 0.73pj 1.17 1.25 + 45.98 - 225 180 — 0.00 + 1.00p > 0.00 0.00 + 0.00 — 180
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
18
14
15
16
17
18
19
20
21
22
28
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
88
39
40
41
42
43
44
45
Tafel X. Ungleichheiten des Mars.
Divers,
diam.
1. p.
Aequatio
argumenti
Vo
Aequatio
centri
X
Min.
prop.
Divers,
diam.
1. p.
0°.03 0°.03 + 0°.40 — 359 46 — 7°. 68 + 0.70? 1°.10 10.22
0.05 0.05 0.70 358 47 7.82 0.68 1.13 1.25
0.07 0.07 1.20 357 48 7.95 0.67 1.15 1.27
0.10 0.10 1.60 356 49 8.08 0.67 1.18 1.30
0.12 0.12 2.00 '355 50 8.22 0.65 1.20 1.33
0.13 0.15 -b 2.40 — 354 51 — 8.33 + 0.63? 1.23 1.37
0.17 0.17 2.80 353 52 8.45 0.62 1.25 1.40
0.18 0.20 8.20 352 53 8.58 0.60 1.28 1.43
0.20 0.22 3.60 351 54 8.70 0.58 1.30 1.47
0.23 0.25 3.98 350 55 8.83 0.57 1.33 1.50
0.25 0.27 + 4.38 — 849 56 — 8.95 + 0.55? 1.35 1.53
0.27 0.30 4.77 348 57 9.07 0.53 1.38 1.57
0.30 0.33 5.17 347 58 9.18 0.52 1.40 1.60
0.32 0.35 5.57 346 59 9.30 0.50 1.43 1.63
0.33 0.38 5.95 345 60 9.40 0.50 1.45 1.67
0.37 0.40 + 6.35 — 344 61 — 9.52 + 0.48? 1.48 1.70
0.38 0.43 6.73 343 62 9.62 0.47 1.50 1.73
0.40 0.47 7.13 342 63 9.72 0.45 1.53 1.77
0.43 0.48 7.53 341 64 9.82 0.43 1.57 1.80
0.45 0.52 7.93 340 65 9.92 0.42 1.60 1.83
0.47 0.53 + 8.32 — 339 66 — 10.00 + 0.40? 1.62 1.88
0.50 0.57 8.72 338 67 10.08 0.38 1.65 1.92
0.53 0.58 9.10 337 68 10.17 0.37 1.68 1.95
0.55 0.62 9.50 336 69 10.25 0.35 1.72 1.98
0.58 0.63 9.90 335 70 10.33 0.33 1.75 2.02
0.62 0.67 + 10.30 — 334 71 — 10.42 + 0.32? 1.78 2.05
0.63 0.68 10.68 333 72 10.48 0.28 1.82 2.10
0.67 0.72 11.08 332 73 10.57 0.27 1.85 2.13
0.68 0.73 11.47 331 74 10.63 0.25 1.88 2.17
0.70 0.77 11.85 330 75 10.70 0.23 1.92 2.20
0.73 0.80 + 12.25 — 329 76 - 10.77 + 0.22? 1.95 2.23
0.75 0.83 12.63 328 77 10.83 0.20 1.98 2.27
0.78 0.85 13.02 327 78 10.88 0.18 2.02 2.32
0.80 0.88 13.42 326 79 10.95 0.17 2.05 2.35
0.83 0.92 13.80 325 80 11.00 0.15 2.08 2.38
0.85 0.93 -j— 14.18 — 324 81 — 11.05 + 0.13? 2.13 2.43
0.88 0.97 14.57 323 82 11.10 0.12 2.17 2.47
0.90 1.00 14.95 322 83 11.15 0.08 2.20 2.50
0.93 1.02 15.33 321 84 11.20 0.07 2.23 2.55
0.95 1.05 15.72 320 85 11.25 0.05 2.27 2.58
0.98 1.08 + 16.10 — 319 86 — 1.1.28 —f- 0.031 2.80 2.63
1.00 1.10 16.48 318 87 11.32 0.02? 2.33 2.68
1.03 1.13 16.87 3171 188 11.35 0.02p 2.38 2.72
1.05 1.17 17.25 316l 189 11.37 0.03 2.42 2.77
1.08 1.18 + 17.63 — 3151 190 — 11.38 + 0.05p 2.45 2.82
— 57 -
Tafel X. Fortsetzung.
Aequatio
centri
X
Min.
prop.
Divers,
diam.
1. p.
Aequatio
argumenti
yo
Aequatio
centri
X
Min.
prop.
Divers,
diamet.
1. p.
Aequatio
argumenti
yo
— 110.38 + 0.07 p 2°.50 2°.87 + 33°.67 — 269 136 — 8°. 53 + 0.72 p 4°.80 6°.02 + 40°.92 — 224
11.40 0.08 2.53 2.92 33.97 268 137 8.38 0.73 4.87 6.13 40.83 223
11.40 0.10 2.58 2.95 34.25 267 138 8.23 0.75 4.93 6.25 40.75 222
11.40 0.12 2.62 3.00 34.53 266 139 8.08 0.77 4.98 6.35 40.65 221
11.40 0.13 2.65 3.05 34.82 265 140 7.93 0-77 5.05 6.45 40.52 220
— 11.40 + 0.15 p 2.70 3.10 + 35.10 — 264 141 - 7.78 + 0.78 p 5.12 6.57 + 40.35 — 219
11.88 0.17 2.73 3.15 35.38 263 142 7.62 0.78 5.18 6.68 40.13 218
11.38 0.18 2.78 3.20 35.67 262 143 7.45* 0.80 5.25 6.78 39.88 217
11.37 0.20 2.82 3.25 35.93 261 144 7.28 0.80 5.30 6.88 39.62 216
11.35 0.22 2.85 3.32 36.20 260 145 7.12 0.82 5.37 6.98 39.33 215
— 11.33 + 0.23 p 2.90 3.37 + 36.47 — 259 146 — 6.95 + 0.82 p | 5.42 7.10 + 39.02 — 214
11.32 0.25 2.93 3.42 36.72 258 147 6.78 0.83 5.47 7.20 38.(57 213
11.28 0.27 2.98 3.47 36.97 257 148 6.62 0.83 5.50 7.30 38.27 212
11.25 0.27 3.02 3.53 37.22 256 149 6.43 0.85 5.53 7.40 37.85 211
11.22 0.28 3.07 3.60 37.45 255 150 6.27 ; 0.85 5.57 7.50 37.42 210
— 11.18 + 0.30 p 3.12 3.65 + 37.68 - - 254 151 - 6 . 08+ ! 0.87 p 5.60 7.58 + 36.95 — 209
11.15 0.32 3.17 3.72 37.92 253 152 5.90 0.87 5.62 7.67 36.42 208
11.10 0.33 3.22 3.78 38.15 252 153 5.72 0.88 5.63 7.751 35.87 207
11.05 0.35 3.27 3.83 38.38 251 154 5.53 0.88 5.63 7.83 35.25 206
11.00 0.37 3.32 3.90 38.60 250 155 5.35 0.90 5.63 7.90 34.58 205
— 10.95 + 0.37 p 3.37 3.97 + 38.82 — 249 156 — 5.15 + 0.92 p 5.63 7.97 + 33.87 — 204
10.88 0.38 3.42 4.02 39.02 248 157 4.95 0.92 5.62 8.00 33.12 203
10.82 ! 0.40 3.47 4.08 39.22 247 158 4.75 0.93 5.60 8.03 32.33 202
10.75 0.42 3.53 4.15 39.40 246 159 4.5o 0.93 15.57 (S.05 31.50 201
10.(58 0 43 3.58 4.22 39.58 245 160 4.33 0.95 5.50 8.03 30.60 200
— 10.62 + i 0.45 p 3.65 4.28 + 39.75 — 244 161 — 4.13 + 0.95 p 5.42 8.00 + 29.63 — 199
10.55 i 0.45 3.72 4.35 39.93 243 162 3.92 0.97 5.30 7.97 28.58 198
10.48 i 0.47 3.77 4.43 40.08 242 163 3.72 0.97 5.17 7.92 27.47 197
10.42 0.48 3.83 4.50 40.23 241 164 3.52 0.97 5.02 7.85 26.27 196
10.35 0.50 3.90 4.58 40.38 240 165 3.30 0.97 4.87 7.78 25.05 195
— 10.28 + 0.50 p 3.95 4.67 + 40.50 — 239 166 — 3.08 + 0.97 p 4.()S 7.57 + 23. <;> — 194
10.20 0.52 4.00 4.75 40.62 238 167 2.87 0.98 4.50 7.43 22.40 193
10.10 0.53 4.07 4.83 40.73 237 168 2.65 0.98 4.20 7.10 21.00 192
10.00 0.55 4.12 4.92 40.82 236 169 2.43 0.98 4.07 6.70 19.48 191
9.90 0.57 4.17 5.00 40.90 235 170 2.22 0.98 3.80 6.27 17.97 190
— 9.80 + 0.58 p 4.23 5.08 + 40.98 — 234 171 — 1.98 + 0.98 p 3.53 5.82 + 1.6.43 — 1 K9
9.68 ! 0.60 4,28 5.17 41.03 233 172 1.77 0.98 3.20 5.37 14.75 188
9.57 S 0.62 4.35 5.25 41.08 232 173 1.55 0.98 2.83 4.90 13.02 187
9.45 ! 0.63 440 5.35 41.13 231 174 1.33 0.98 2.45 4.43 11.25 186
9.33 0.65 4.47 5.43 41.15 230 175 1.12 1.00 2.07 3.77 9,15 185
— 9.22 + 0.67 p 4.52 5.52 + 41.17 — 22« 176 — 0.90 + 1.00 p 1.67 3.05 + 7.62 — 184
9.08 0.68 4.58 5.62 41.17 228 177 0.67 1.1)0 1.27 2.33 5.75 183
8.95 0.68 4.63 5.72 41.12 227 178 0.45 1.00 0.85 1.57 3.S7 182
8.82 0.70 4.68 5.82 41.07 226 179 0.23 1.00 0.43 0.78 1.95 181
— 8.68 + 0.70 p 4.75 5.92 + 41.00 — 225 180 — 0.00 + 1.00 p
o o d Ö ö + o.oo — 180 %
Tafel XI. Ungleichheiten des Jupiter.
Aequatio
centri
X
Min.
prop.
Divers,
diam.
/. p.
Aequatio
argumenti
Vo
Aequatio
centri
X
Min.
prop.
Divers,
diam.
/. p.
Aequatio
argumenti
yo
1 — 00.10 + 1.00/ 0°.00 0°.00 + 0°.17 — 359 46 — 4°.13 + 0.72/ 0°.25 0°.28 + 6.95* —
2 0.20 1.00 0.02 0.02 0.33 358 47 4.20 0.70 0.27 0.28 7.08
3 0.30 1.00 0.02 0.02 0.48 357 48 4.27 0.68 0.27 0.30 7.20
4 0.40 1.00 0.02 0.02 0.65 356 49 4.33 0.67 0.27 0.30 7.33
5 0.50* 1.00 0.03 0.03 0.82 355 50 4.40 0.65 0.28 0.32 7.47
6 — 0.60 + 1.00/ 0.03 0.03 + 0.97 — 354 51 — 4.47 + 0.63/ 0.28 0.32 + 7.58 —
7 0.70 1.00 0.03 0.03 1.13 353 52 4.53 0.62 0.28 0.32 7.72
8 0.80 1.00 0.05 0.05 1.30 352 53 4.60 0.60 0.30 0.33 7.83
9 0.88 1.00 0.05 0.05 1.47 351 54 4.65 0.58 0.30 0.33 7.95
10 0.98 1.00 0.05 0.05 1.62 350 55 4.72 0.57 0.30 0.33 8.07
11 — 1.08 + 1.00/ 0.07 0.07 + 1.78 — 349 56 — 4.78 + 0.55 / 0.32 0.35 + 8.18 —
12 1.18 1.00 0.07 0.07 1.95 348 57 4.83 0.55 0.32 0.35 8.28
13 1.28 0.98 0.07 0.08 2.10 347 58 4.90 0.53 0.32 0.35 8.40
14 1.38 0.98 0.08 0.08 2.25 346 59 4.97 0.52 0.33 0.37 8.52
15 1.47 0.98 0.08 0.08 2.40 345 60 5.02 0.50 0.33 0.37 8.62
16 — 1.57 + 0.98/ 0.08 0.10 + 2.57 — 344 61 — 5.08 + 0.48/ 0.33 0.37 + 8.73 —
17 1.67 0.97 0.10 0.10 2.72 343 62 5.15 0.47 0.35 0.38 8.83
18 1.75 0.97 0.10 0.12 2.87 342 63 5.20 0.45 0.35 0.38 8.93
19 1.85 0.97 0.10 0.12 3.03 341 64 5.25 0.43 0.35 0.38 9.03
20 1.95 0.95 0.12 0.13 3.18 340 65 5.30 0.42 0.37 0.40 9.13
21 — 2.03 + 0.95/ 0.12 0.13 + 3.33 — 339 66 — 5.33 + 0.40/ 0.37 0.40 + 9.23 —
22 2.13 0.95 0.12 0.13 3.50 338 67 5.38 0.38 0.37 0.40 9.33
23 2.22 0.93 0.13 0.15 3.65 337 68 5.43 0.35 0.38 0.42 9.43
24 2.30 0.93 0.13 0.15 3.80 336 69 5.47 0.33 0.38 0.42 9.52
25 2.40 0.92 0.13 0.15 3.95 335 70 5.52 0.32 0.38 0.42 9.60
26 — 2.50 + 0.92/ 0.15 0.17 + 4.10 — 334 71 — 5.55 + 0.30/ 0.40 0.43 + 9.68 —
27 2.58 0.90 0.15 0.17 4.25 333 72 5.58 0.28 0.40 0.43 9.77
28 2.68 0.90 0.15 0.17 4.40 332 73 5.62 0.27 0.40 0.43 9.85
29 2.77 0.88 0.17 0.18 4.55 331 74 5.65 0.25 0.42 0.45 9.93
30 2.85 0.88 0.17 0.18 4.70 330 75 5.68 0.23 0.42 0.45 10.00
31 - 2.93 -f- 0.87/ 0.17 0.18 + 4.85 — 329 76 - 5.72 + 0.22/ 0.42 0.45 + 10.08 —
32 3.02 0.85 0.18 0.20 5.00 328 77 5.75 0.20 0.42 0.47 10.15
33 3.10 0.85 0.18 0.20 5.13 327 78 5.77 0.18 0.43 0.47 10.22
34 3.18 0.83 0.18 0.20 5.28 326 79 5.80 0.17 0.43 0.47 10.28
35 3.28 0.83 0.20 0.22 5.43 325 80 5.82 0.15 0.43 0.48 10.35
38 — 3.35 + 0.82/ 0.20 0.22 + 5.57 — 324 81 — 5.83 + 0.13/ 0.43 0.48 + 10.42 —
37 3.43* 0.82 0.20 0.22 5.72 323 82 5.85 0.12 0.43 0.48 10.48
38 3.52 0.80 0.22 0.23 5.87 322 83 5.87 0.10 0.43 0.48 10.53
39 3.60 0.78 0.22 0.23 6.00 321 84 5.88 0.08 0.45 0.50 10.58
40 3.68 0.78 0.22 0.23 6.15 320 85 5.90 0.07 0.45 0.50 10.63
41 — 3.75 + 0.77/ 0.23 0.25 + 6.28 — 319 86 — 5.92 + 0.05/ 0.45 0.50 + 10.68 —
42 3.82 0.77 0.23 0.25 6.42 318 87 5.92 0.03 0.45 0.50 10.73
43 3.90 0.75 0.23 0.25 6.55 317 88 5.93 0.02/ 0.45 0.50 10.78
44 3.98 0.73 0.25 0.27 6.68 316 89 5.93 0.02p 0.45 0.50 10.82
45 — 4.05 + 0.72 0.25 0.27 + 6.82 — 315 90 — 5.95 + 0.03p 0.45 0.50 + 10.85 —
— 59 —
Tafel XI. Fortsetzung.
V
Aequatio
centri
X
Min.
prop.
Divers,
diam.
1. p.
Aequatio
argumenti
2/o
Aequatio
centri
X
Min.
prop.
Divers,
diam.
1 p.
Aequatio
argumenti
Vo
91 — 5°.95 + 0.05 p 0°.45 0°.52 + 10°.88 — 269 136 — 40.30 + 0.73 p 0°.43 0°.50 > + 8°. 78— 224
92 5.95 0.07 0.47 0.52 10.92 268 137 4.22 0.75 0.43 0.50 8.65 223
9.3 5.95 0.08 0.47 0.52 10.95 267 138 4.13 0.77 0.43 0.48 8.52 222
94 5.95 0.08 0.47 0.52 10.98 266 139 4.07 0.77 0.42 0.48 8.37 221
95 5.95 0.10 0.47 0.52 11.00 265 140 3.98 0.78 0.42 0.47 8.22 220
96 — 5.95 + 0.12p 0.47 0.52 + 11.02 — 264 141 — 3.90 + 0.78p 0.42 0.47 + 8.07 — 219
97 5.98 0.18 0.47 0.52 11.03 263 142 8.82 0.80 0.40 0.45 7.92 218
98 5.93 0.15 0.47 0.53 11.03 262 143 3.73 0.80 0.40 0.45 7.75 217
99 5.92 0.17 0.48 0.53 11.05 261 144 3.63 0.82 0.40 0.43 7.60 216
loo 5.92 0.18 0.48 0.53 11.05 260 145 3.55 0.82 0.38 0.43 7.43 215
101 — 5.90 + 0.20 p 0.48 0.53 + 11.05 — 259 146 — 3.47 + 0.83 p 0.38 0.42 + 7.27 — 214
102 5.88 0.22 0.48 0.53 11.05 258 147 3.37 0.83 0.38 0.40 7.10 213
1<>3 5.87 0.28 0.48 0.53 11.03 257 148 3.28 0.85 0.37 0.40 6.92 212
0^4 5.85 0.25 0.48 0.53 11.03 256 149 3.20 0.85 0.37 0.38 6.75 211
105 5.82 0.27 0.48 0.53 11.03 255 150 3.10 0.87 0.35 0.37 6.57 210
% — 5.80 + 0.28 p 0.48 0.53 + 11.02 — 254 151 — 3.02 + 0.87p 0.35 0.37 + 6.38 — 209
107 5.77 0.80 0.50 0.55 11.00 253 152 2.92 0.88 0.33 0.35 6.20 208
108 5.78 0.32 0.50 0.55 10.98 252 153 2.82 0.88 0.32 0.33 6.00 207
109 5.72 0.33 0.50 0.55 10.95 251 154 2.73 0.88 0.32 0.33 5.80 206
Uo 5.68 0.35 0.50 0.55 10.92 250 155 2.63 0.90 0.30 0.32 5.60 205
Hl - 5.65 + 0.37p 0.50 0.55 + 10.88 — 249 156 — 2.53 + 0.90 p 0.28 0.30 + 5.40 — 204
U2 5.62 0.37 0.50 0.55 10.85 248 157 2.43 0.92 0.28 0.30 5.20 203
UB 5.58 0.38 0.50 0.55 10.80 247 158 2.33 0.92 0.27 0.28 5.00 202
U4 5.55 0.40 I 0.50 0.55 10.75 246 159 2.23 0.93 0.25 0.27 4.78 201
ll5 5.52 0.42 0.50 0.55 10.70 245 160 2.13 0.93 0.25 0.27 4.58 200
*16 — 5.48 + 0.43 p 0.50 0.55 + 10.65 — 244 161 — 2.03 + 0.95p 0.23 0.25 + 4.37 — 199
U7 5.45 0.45 0.50 0.55 10.58 243 162 1.93 0.95 0.22 0.23 4.15 198
U8 5.42 0.47 0.50 0.55 10.52 242 163 1.83 0.95 0.22 0.23 3.93 197
U9 5.87 0.48 0.48 0.55 10.45 241 164 1.72 0.97 0.20 0.22 3.70 196
120 5.82 0.50 0.48 0.55 10.38 240 165 1.62 0.97 0.18 0.20 3.48 195
121 — 5.27 +
5.22
0.52p 0.48 0.53 + 10.32 — 239 166 — 1.50 + 0.97p 0.18 0.20 + 3.27 — 194
122 0.53 0.48 0.53 10.25 288 167 1.40 0.98 0.17 0.18 3.05 193
12B 5.17 0.55 0.48 0.53 10.17 237 168 1.30 0.98 0.15 0.17 3.82 192
124 5.10 0.57 0.48 0.53 10.08 236 169 1.20 0.98 0.15 0.17 2.58 191
125 5.05 0.58 0.48 0.53 10.00 235 170 1.08 0.98 0.13 0.15 2.35 190
126 — 4.98 + 0.60 p 0.48 0.53 + 9.90 — 234 171 — 0.98 + 1.00p 0.12 0.13 + 2.12 — 189
127 4.92 0.62 0.47 0.53 9.80 233 172 0.87 1.00 0.12 0.12 1.88 188
128 4.85 0.63 0.47 0.52 9.70 232 173 0.77 1.00 0.10 0.12 1.65 187
129 4.78 0.65 0.47 0.52 9.60 231 174 0.65 1.00 0.08 0.10 1.42 186
180 4.72 0.67 0.47 0.52 9.50 230 175 0.55 1.00 0.08 0.08 1.18 185
131 — 4.65 + 0.68 p 0.47 0.52 + 9.40* — 229 176 — 0.45 + 1.00p 0.07 0.07 + 0.95 — 184
132 4.58 0.68 ! 0.47 0.52 9.28* 228 177 0.33 1.00 0.05 0.05 0.72 183
13B 4.52 0.70 i 0.45 0.52 9.17 227 178 0.23 1.00 0.03 0.03 0.48 182
134 4.45 0.72 i 0.45 0.50 9.03 226 179 0.12 1.00 0.02 0.02 0.25 181
135 — 4.87 + 0.72pj 0.45*0.50 + 8.90 — 225 180 — 0.00 + 1.00p 0.00 0.00 + 0.00 — 180
— 6 0 —
Tafel XII. Ungleichheiten des Saturn.
Aequatio
centri
X
Min.
prop.
Divers,
diam.
1. p.
Aequatio
argumenti
Vo
Aequatio
centri
X
Min.
prop.
Divers,
diam.
1. p.
Aequatio
argumenti
Z/o
5 — 0°.12 + 1.00/ 0°.00 0°.00 + 0°.10 — 359 46 — 4°.50 + 0.70/ 0°.20 0°.27 + 4°.13 —
2 0.23 1.00 0.02 0.02 0.20 358 47 4.58 0.68 0.20 0.28 4.22
3 0.33 1.00 0.02 0.02 0.30 357 48 4.65 0.67 0.20 0.28 4.28
4 0.45 1.00 0.02 0.02 0.40 356 49 4.73 0.67 0.20 0.28 4.37
5 0.55 1.00 0.03 0.03 0.50 355 50 4.80 0.65 0.22 0.30 4.43
f> — 0.67 + 1.00 / 0.03 0.03 + 0.60 — 354 51 - 4.87 + 0.63/ 0.22 0.30 + 4.50 —
7 0.77 1.00 0.03 0.03 0.70 353 52 4.93 0.62 0.22 0.30 4.57
<S 0.87 1.00 0.05 0.05 0.80 352 53 5.02 j 0.60 0.23 0.32 4.63
9 0.97 0.98 0.05 0.05 0.90 351 54 5.08 1 0.58 0.23 0.32 4.70
10 1.08 0.98 0.05 0.05 1.00 350 55 5.15 j 0.57 0.23 0.32 4.77
11 - 1 . 1 8 + 0.98 / 0.07 0.07 + 1.10 — 349 56 - 5 . 2 2 + 0.55 / 0.23 0.32. +- 4.83 —
12 1.28 0.98 0.07 0.07 1.18 348 57 5.28 0.55 0.25 0.32 4.88
13 1.40 0.97 0.07 0.08 1.28 347 58 5.35 0.53 0.25 0.32 5.95
14 1.50 0.97 0.07 0.08 1.38* 346 59 5.42 0.52 0.25 0.33 5.02
15 1.M0 0.97 0.08 0.10 1.47 345 60 5.48 0.50 0.25 0.33 5.07
16 - 1.72 + 0.951 0.08 0.10 + 1.57 - 344 61 — o.5o +^ 0.48/ 0.27 0.33 + 5.13 —
17 1.82 0.95 0.08 0.12 1.07 343 62 5.62 0.47 0.27 0.33 5.20
IS 1.92 0.93 0.08 0.12 1.75 342 63 5.68 0.45 0.27 0.33 5.25
19 2.02 0.93 0.10 0.13 1.85 341 64 5.73 0,43 0.27 0.33 5.32
20 2.12 0.93 0.10 0.13 1.95 340 65 5.78 0.42 0.27 0.33 5.37
21 - 2.22 + 0.92/ 0.10 0.13 + 2.03 — 339 66 — 5.83 + 0.40/ 0.28 0.33 + 5.42 —
22 2.32 0.92 0.10 0.15 2.13 338 67 5.88 | 0.38 0.28 0.35 5.47
23 2.42 0.90 0.12 0.15 2.22 337 68 5.93 0.37 0.28 0.35 5.52
24 2.52 0.90 0.12 0.15 2.30 336 69 5.98 0.35 0.28 0.35 5.57
25 2.(52 0.88 (>. 12 0.17 2.40 335 70 6.03 0.33 0.28 0.35 5.62
26 - 2.72 + 0.88/0.12 0.17 + 2.48 — 334 71 — 6.08 + 0.32/ 0.28 0.35 + 5.67 —
27 2.82 0.87 0.13 0.17 2.57 333 72 6.12 0.30 0.30 0.35 5.70
2<S 2.92 0.87 0.13 0.18 2.67 332 73 6.15 0.27 0.30 0.35 5.75
29 3.02 0.85 0.13 0.18 2.75 331 74 6.20 0.25 0.30 0.35 5.78
30 3.10 0.85 0.13 0.18 2.83 330 75 6.23 0.23 0.30 0.35 5.82
31 — 3.20 f 0.83/ 0.15 0.20 + 2.92 — 329 76 — 6.27 + 0.22/ 0.30 0.35 + 5.85 —
32 3.30 0.83 0.15 0.20 3.00 328 77 6.30 0.20 0.30 0.35 5.88
33 3.38 0.82 0.15 0.20 3.08 327 78 6.32 0.18 0.30 0.35 5.92
34 3.48 0.82 0.15 0.20 3.17 326 79 6.35 0.15 0.30 0.37 5.95
35 3.57 0.80 0.15 0.22 3.25 325 80 6.37 0.13 0.30 0.37 5.98
36 — 3.65 + 0.80/ 0.17 0.22 —]— 8.3o — 324 81 — 6.38 + 0.12/ 0.30 0.37 + 6.00 —
3)7 3.75 0.78 0.17 0.22 3.42 323 82 6.42 0.10 0.30 0.37 6.03
38 3.83 0.77 0.17 0.23 3.50 322 83 ß.43 0.08 0.32 0.37 6.07
39 3.92 0.77 0.17 0.23 3.58 321 84 6.45 0.07 0.32 0.37 6.08
40 4.00 0.75 0.17 0.23 3.67 320 85 6.47 0.05 0.32 0.37 6.12
41 — 4.08 + 0.75/ 0.18 0.25 + 3.75 - 319 86 — 6.47 + 0.03 / 0.32 0.37 + 6.13 —
42 4,17 0.73 0.18 0.25 3.82 318 87 6.48 0.02/ 0.32 0.38 6.15
43 4,25 0.73 0.18 0.25 3.90 317 88 6.50 0.02p 0.32 0.38 6.17
44 4.33 0.72 0.18 0.27 3.98 316 89 6.50 0.03 0.32 0.38 6.18
45 — 4.42 + 0.70 0.18 0.27 + 4.05 — 315 90 — 6.52 + j 0.05p 0.32 0.38 + 6.1,8 —
— 6 1 —
Tafel XII. Fortsetzung.
Aequatio
centri
X
Min.
prop.
Divers,
diain.
1. p.
Aequatio
argumenti
Vo
Aequatio
centri
X
Min.
prop.
Divers,
diam.
1. p.
Aequatio
argumenti
2/o
91 — 6°.52 + 0.07 p 0°.32 0°.38 + 6°. 20 — 269 136 — 4°. 72 + 0.70^ > 0°.27 0°.3S > + 40.68— 224
92 6.52 0.08 0.33 0.38 6.20 268 137 4.63 0.72 0 27 0.32 4.60 223
93 6.52 0.10 0.33 0.38 6.20 267 138 4.55 0.73 0.27 0.30 4.52 222
94 6.52 0.12 0.33 0.40 6.22 266 139 4.47 0.73 0.25 0.30 4.43 221
95 6.50 0.13 0.33 0.40 ! 6.22 265 140 4.38 0.75 0.25 0.30 4.35 220
96 — 6.50 + 0.15 p 0.33 0.40 ! + 6 . 2 2 - 264 141 — 4.28 + 0.11p 0.25 0.28 + 4.27 — 219
97 (>.48 0.1 7 0.33 0.40 j 6.22 263 142 4.20 0.77 0.25 0.28 4.18 218
98 6.48 0.18 0.33 0.40 ' 6.22 262 143 4.10 0.78 0.23 0.28 4.10 217
99 6.47 0.20 0.33 0.40 6.22 261 144 4.00 0.80 0.23 0.27 4.00 216
100 6.47 0.22 0.35 0.40 6.22 260 145 3.90 0.82 0.23 0.27 3.92 215
loi — 6.45 + 0.23 p 0.35 0.40 + 6.20 — 259 146 — 3.80 + 0.82 p 0.22 0.27 + 3.82 — 214
102 6.43 0.25 0.35 0.42 6.20 258 147 3.70 0.83 0.22 0.25 ! 3.72 213
103 6.42 0.25 0.35 0.42 6.18 257 148 3.60 0.83 ! 0.22 0.25 ! 3.62 212
104 6.40 0.27 0.35 0.42 6.17 256 149 3.50 0.85 0.20 0.23 3.52 211
105 6.37 0.28 0.35 0.42 6.15 255 150 3.40 0.85 0.20 0.23 3.42 210
10(5 - 6.:SÖ + 0.30 p 0.35 0.42 1 + 6.13 — 254 151 — 3.30 + 0.872? 0.20 0.22 + 3.32 — 209
107 (i.a-2 0.32 0.35 0.42 6.12 253 152 3.20 0.88 0.18 0.22 3.22 208
U)8 6.28 0.33 0.33 0.42 i 6.08 252 153 3.10 0.88 0.18 0.22 3.12 207
1()9 6.27 0.33 0.33 0.42 ! 6.07 251 154 2.98 0.90 0.18 0.20 3.02 206
Uo 6.23 0.35 0.33 0.42 6.03 250 155 2.87 0.90 0.17 0.20 2.90 205
Hl — 6.20 + 0.37 p 0.33 0.42 + 6.00 — 249 156 - 2.77 + 0.92 p 0.17 0.20 + 2.80 — 204
*12 6.17 0.38 0.33 0.40 5.98 248 157 2.67 0.92 0.15 0.18 2.70 203
HB 6.13 0.40 0.32 0.40 ! 5.95 247 158 2.57 0.93 0.15 0.18 2.60 202
114 6.10 0.42 0.32 0.40 I 5.92 246 159 2.45 0.93 0.13 0.18 ! 2.48 201
U5 6.07 0.43 ; 0.32 0.40 5.88 245 160 2.35 0.95 0.13 0.17 | 2.38 200
116 — 6.02 + 0.43 jp; 0.32 0.40 + 5.85 — 244 161 — 2.23 + O.S)bp 0.12 0.17 + 2 . 2 7 - 199
117 5.97 0.45 0.32 0.40 5.80 243 162 2.12 0.95 0.12 0.17 2.15 198
U8 5.92 0.47 1 0.32 0.40 5.77 242 163 2.00 0.97 0.10 0.15 2.03 197
119 5.87 0.48 ! 0.32 0.38 5.72 241 164 1.88 0.97 0.10 0.15 1.92 196
120 5.82 0.50 0.32 0.38 5.68 240 165 1.77 0.97 0.10 0.13 1.80 195
121 — 5.77 + 0.50 0.32 0.38 + 5.62 — 239 166 — 1.65 + 0.98jp 0.08 0.13 + 1.68 — 194
122 5.72 0.52 0.32 0.38 5.57 238 167 1.53 0.98 0.08 0.12 1.57 193
123 5.67 0.53 0.32 0.38 5.52 237 168 1.42 0.98 0.08 0.12 1.45 192
124 5.60 0.55 0.32 0.38 5.47 236 169 1.30 0.98 0.08 0.10 1.33 191
125 5.53 0.55 0.30 0.37 5.40 235 170 1.18 1.00 0.07 0.10 1.22 190
126 — 5.47 + 0.57 p 0.30 0.37 + 5.35 — 234 171 — 1.07 + 1.00 0.07 0.08 + 1.10 — 189
127 5.40 0.58 0.30 0.37 5.30 233 172 0.95 1.00 0.07 0.08 0.98 188
128 5.33 0.60 0.30 0.35 5.23 232 173 0.83 1.00 0.05 0.07 0 87 187
129 5.27 0.62 0.30 0.35 5..1 7 231 174 0.72 1.00 0.05 0.07 0.75 186
130 5.20 0.62 0.28 0.35 5.10 230 175 0.60 1.00 0.05 0.05 0.63 185
131 - 0.63 p 0.28 0.35 + 5.03 — 229 176 — 0.48 + 1.00 p 0.03 0.05 + 0.52 — 184
132
133
5.05 0.65 0.28 0.33 4,97 228 177 0.37 1.00 0.03 0.03 0.38 183
4.97 0.67 0.28 0.33 4.90 227 1 78 0.25 1.00 0.02 0.03 0.27 182
134 4.88 0.68 0.28 0.33 4.83 226 179 0.13 1.00 0.02 0.02 0.13 181
135 — 4.80 + 0.70 p 0.27 0.32 + 4.75 — 225 180 | o o + 1.002? 0.00 0.00 + 0.00 — 180
6 2 —
Tafel XIII.
Bewegung des Mondknotens
in Jahren.
Tafel XV. Breite des Mondes.
Jahre m. m. Jahre m. m. ß
1250.0 129°.51 1 19°. 33
1270 156.34 2 38.66
1290 183.17 3 58.04
1310 210.00 4 77.37
1330 236.83
5 96.69
1350.0 263.66 6 116.02
1370 290.49 7 135.40
1390 317.32 8 154.73
1410 344.15
1430 10.99 9 174.06
10 193.39
1450.0 37.82 11 212.77
1470 64.65 12 232.10
1490 91.48
1510 118.31 13 251.43
1530 145.14 14 270.76
15 290.14
1550.0 171.97 16 309.46
1570 198.80
1590 225.63 17 328.79
1610 252.46 18 348.12
1630 279.29 19 7.50
20 26.83
1650.0 306.13
Tafel XIV.
Bewegung des Mondknotens
in Tagen.
Tage m. m. & Tage ' Im. m.
1 0°.05 20 10.06
2 0.11 30 1.59
3 0.16 40 2.12
4 0.21 50 2.65
5 9.27 60 3.18
6 0.32 70 3.71
7 0.37 80 4.24
8 0.42 90 4.77
9 0.48 100 5.30
10 0.53 200 10.59
300 15.89
Arg. Breite Arg. Arg. Breite An
1 179 + 0°.087 — 181 359 46 134 + 3°.595 — 226
2 178 ' 0.174 182 358 47 133 3.655 227
3 177 0.261 183 357 48 132 3.714 228
4176 0.348 184 356 49 131 3.771 k29
5 175 0.435 185 355 50 130 3.828 230
6 174 + 0.522 — 186 354 51 129 + 3.883 — 231
7 173 0.609 187 353 52 128 3.938 232
8 172 0.695 188 352 23 127 3.991 233
9 171 0.781 189 351 54126 4.044 234
10 170 0.867 190 350 55 125 4.094 235
11 169 + 0.953 — 191 349 56 124 + 4 .144 - 236
12 168 1.038 192 348 57 123 4.193 237
13 167 1.123 193 347 58 122 4.239 238
14 166 1.208 194 346 59 121 4.285 239
15 165 1.293 195 345 60 120 4.330 240
16 164 + 1.376 — 196 344 61 119 + 4.373 — 241
17 163 1.459 197 343 62 118 4.414 242
18 162 1.542 198 342 63 117 4.454 243
19 161 1.625 199 341 64 116 4.493 244
20 160 1.708 200 340 65 115 4.530 245
21 159 + 1.790 — 201 339 66 114 + 4.566 — 246
22 158 1.871 202 338 67 113 4.601 247
23 157 1.952 203 337 68 112 4.634 248
24 156 2.032 204 336 69 111 4.667 249
25 155 2.111 205 335 70 110 4.698 250
26 154 + 2.189 — 206 334 71 109 + 4.727 — 251
27 153 2.267 207 333 72 108 4.755 252
28 152 2.344 208 332 73 107 4.781 253 :
29 151 2.421 209 331 74 106 4.806 254
30 150 2.498 210 330 75 105 4.829 255
31 149 + 2.573 — 211 329 76 104 + 4.851 — 256
32 148 2.648 212 328 77 103 4.871 257
33 147 2.733 213 327 78 102 4.890 258
34 146 2.794 214 326 79 101 4.908 259
35 145 2.866 215 325 80 100 4.924 260
36 144 + 2.936 — 216 324 81 99 + 4.941 — 261
37 143 3.006 217 323 82 98 4.951 262
38 142 3.075 218 322 83 97 4.963 263:
39 141 3.143 219 321 84 96 4.973 264
40 140 3.211 220 320 85 95 4.981 265
41 139 + 3.278 221 319 86 94 + 4.988 — 266
42 138 3.343 222 318 87 93 4.993 267
43 137 3.407 223 317 88 92 4.997 268:
44136 3.471 224 316 89 91 4.999 269
45 135 + 3.533 — 225 315 90 90 + 5.000 — 270
— 63 —
Tafel XVI. Breiten der Planeten 2 5 2j, 5.
Min. Venus Merkur Mars Jupiter Saturn
prop. D B D B0 + - + - + ~
6 0.99 l.°03 0.°13 1.075 0.°18 0.°12 0.005 l.°12 l.°08 2.007 2.°03 354
12 0.98 1.02 0.27 1.73 0.37 0.15 0.07 1.13 1.10 2.08 2.05 348
18 0.95 1.00 0.40 1.72 0.55 0.18 0.08 1.13 1.10 2.10 2.07 342
24 0.91 0.98 0.55 1.67 0.73 0.22 0.10 1.15 1.12 2.12 2.08 336
30 0.87 0.95 0.68 1.60 0.92 0.23 0.12 1.17 1.13 2.13 2.10 330
36 0.81 0.92 0.82 1.50 1.10 0.27 0.15 1.18 1.15 2.17 2.12 324
42 0.74 0.85 0.95 1.40 1.28 0.30 0.20 1.20 1.17 2.18 2.13 318
48 0.67 0.77 1.08 1.27 1.45 0.35 0.25 1.22 1.18 2.20 2.17 312
54 0.59 0.68 1.22 1.13 1.58 0.40 0.30 1.23 1.22 2.23 2.22 306
60 0.50 0.60 1.33 0.98 1.73 0.47 0.37 1.27 1.27 2.27 2.25 300
66 0.41 0.48 1.47 0.82 1.85 0.53 0.43 1.30 1.30 2.30 2.30 294
72 0.31 0.38 1.58 0.63 2.00 0.60 0.50 1.35 1.35 2.33 2.35 288
78 0.21 0.27 1.72 0.43 2.12 0.68 0.60 1.40 1.40 2.40 2.40 282
84 0.11 0.13 1.83 0.27 2.23 0.77 0.70 1.45 1.45 2.43 2.45 276
90 0.00 0.00 1.95 0.00 2.33 0.87 0.82 1.50 1.50 2.50 2.50 270
96 0.11 0.17 2.05 0.25 2.45 0.98 0.93 1.55 1.55 2.57 2.55 264
102 0.21 0.33 2.15 0.52 2.47 1.10 1.07 1.60 1.60 2.60 2.60 258
108 0.31 0.53 2.25 0.80 2.48 1.23 1.22 1.65 1.65 2.65 2.65 252
114 0.41 0.75 2.33 1.10 2.50 1.38 1.40 1.70 1.70 2.70 2.70 246
120 0.50 0.98 2.42 1.42 2.48 1.57 1.62 1.75 1.75 2.75 2.75 240
126 0.59 1.22 2.47 1.75 2.43 1.78 1.85 1.80 1.80 2.78 2.80 234
132 0.67 1.63 2.50 2.10 2.33 2.02 2.17 1.85 1.85 2.83 2.85' 228
138 0.74 1.95 2.50 2.43 2.18 2.27 2.55 1.90 1.90 2.88 2.90 222
144 0.81 2.38 2.47 2.78 2.00 2.57 2.93 1.95 1.95 2.92 2.92 216
150 0.87 3.05 2.37 3.12 1.75 2.92 3.48 2.00 2.00 2.95 2.97 210
156 0.91 3.72 2.20 3.43 1.48 3.30 4.15 2.05 2.05 2.98 3.00 204
162 0.95 4.43 1.92 3.70 1.17 3.65 4.92 2.08 2.08 3.00* 3.03 198
168 0.98 5.40 1.45 3.90 0.80 4.00 5.72 2.10 2.10 3.02 3.05 192
174 0.99 6.40 0.80 4.03 0.47 4.23 6.43 2.12 2.12 3.03 3.07 186
180 1.00 7.20 0.00 4.08 0.00 4.35 7.50 2.13 2.13 3.03 3.08 180
Lebenslauf.
Ich, A l f r e d L o t h a r W e g e n e r , evangelischer Confession, bin am
1. November 1880 zu Berlin als Sohn des Predigers und Direktors des
Schindlerschen Waisenhauses Dr. Richard Wegener geboren. Ich genoss den
Unterricht des Köllnischen Gymnasiums zu Berlin, welches ich Michaelis 1899
mit dem Zeugnis der Reife verliess, um mich an der Friedrich-Wilhelms-
Universität zu Berlin dem Studium der Mathematik und Naturwissenschaften,
insbesondere der Astronomie zu widmen. Abgesehen von dem Sommer-
Semester 1900, in welchem ich Vorlesungen an der Ruprecht-Karls-Universität
zu Heidelberg, und dem Sommersemester 1901, in dem ich solche an der
Innsbrucker Universität hörte, verblieb ich auch in der Folgezeit an der Berliner
Universität, absolvierte von Michaelis 1901 bis Michaelis 1902 meine Dienst-
pflicht als Einjährig-Freiwilliger beim Königin Elisabeth Garde-Grenadier-
Regiment No. 3 zu Westend und hatte von Michaelis 1902 bis Michaelis 1903
die Stelle eines Astronomen an der Sternwarte der Gesellschaft Urania inne.
Die Promotionsprüfung bestand ich am 24. November 1904. In den 10
Semestern von Michaelis 1899 bis Michaelis 1904 hörte ich die Vorlesungen
folgender Herren:
Bauschinger, v. Bezold, Blaas, Cathrein, Dilthey, Eggert, Fischer, Förster,
Frobenius, Fuchs, Heinricher, Helmert, Knoblauch, Königsberger, Markuse,
Paulsen, Planck, Quincke, Scheiner, Schwarz, Stumpf, Valentiner, Warburg, Wolf.
Von meinem siebenten Semester ab wohnte ich den Seminarübungen
der Herren Professoren Bauschinger und Förster bei, welchen ich mich für
ihre oft erteilten gütigen Ratschläge zu besonderem Danke verpflichtet fühle.
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